IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 1983) Geometria Espacial Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Um triângulo retângulo gira em torno de sua hipotenusa [tex3]\underline{a}[/tex3] gerando um sólido cujo volume mede [tex3]\frac{\pi.a^3}{48}[/tex3]. Se [tex3]\underline{b}[/tex3] e [tex3]\underline{c}[/tex3] são catetos do triângulo e [tex3]b > c[/tex3] então a razão [tex3]\frac{b}{c}[/tex3] é:

(A) [tex3]4[/tex3].
(B) [tex3]\sqrt{3}[/tex3].
(C) [tex3]2[/tex3].
(D) [tex3]2+\sqrt{3}[/tex3].
(E) [tex3]2-\sqrt{3}[/tex3].

[jgpret]

Boa Tarde!

Eis minha proposta:

Considere o esquema: (Desculpem pela porquice do desenho, mas não tenho muita habilidade com softwares de desenho, então faço no paint mesmo)

triangulo.jpg (6.75 KiB) Exibido 967 vezes

Rotacionando a área [tex3]S_1[/tex3], temos um cone de volume [tex3]V_2[/tex3]. O mesmo acontece para a área [tex3]S_2[/tex3], produzindo um cone de volume [tex3]V_2[/tex3].
Assim, somando o volume destes cones:

[tex3]\Large V_1 + V_2 = \frac{a^3 \cdot \pi}{48}[/tex3]
[tex3]\Large \frac{1}{3} \pi h^2 \cdot x + \frac{1}{3} \pi h^2 \cdot (a-x) = \frac{a^3 \cdot \pi}{48}[/tex3] (fatorando por evidencia)
[tex3]\Large \frac{1}{3} \pi h^2 \cdot (x + a-x) = \frac{a^3 \cdot \pi}{48}[/tex3]
[tex3]\Large \frac{1}{3} \pi h^2 \cdot (a) = \frac{a^3 \cdot \pi}{48}[/tex3] (fazendo as devidas modificações)
[tex3]\Large h^2 = \frac{a^2}{16}[/tex3]
[tex3]\Large h = \frac{a}{4}[/tex3] ([tex3]\Large I-[/tex3])

Contudo, a área do triângulo pode ser calculada por:
[tex3]\Large \frac{a \cdot h}{2} = \frac{b \cdot c}{2}[/tex3]
[tex3]\Large h = \frac{bc}{a}[/tex3] ([tex3]\Large II-[/tex3])

De [tex3]\Large I-[/tex3] e [tex3]\Large II-[/tex3]:

[tex3]\Large \frac{bc}{a}= \frac{a}{4}[/tex3]
[tex3]\Large 4bc= a^2[/tex3]
[tex3]\Large a=2\sqrt{bc}[/tex3]

Assim, por Pitágoras no triângulo:
[tex3]\Large a^2 = b^2 + c^2[/tex3]
[tex3]\Large 4bc = b^2 + c^2[/tex3]

Dividindo a equação por [tex3]\Large c^2[/tex3]

[tex3]\Large 4\frac{b}{c} = (\frac{b}{c})^2 + 1[/tex3]

Sendo [tex3]\Large T = \frac{b}{c}[/tex3], temos que:

[tex3]\Large T^2 - 4T +1 =0[/tex3]

o que produz: [tex3]\Large T'=2+\sqrt{3}[/tex3] e [tex3]\Large T''=2-\sqrt{3}[/tex3]

se [tex3]b>c \leftrightarrow \frac{b}{c} >0 \leftrightarrow T>0[/tex3]

Assim, o valor que convém é o de [tex3]T' = \frac{b}{c} = 2+\sqrt{3}[/tex3], letra [tex3]\Large D.[/tex3]

Um Abraço!