Olimpíadas ⇒ (China-1889) Soluções inteiras não negativas Tópico resolvido

[goncalves3718]

Considere a equação [tex3]2x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8+x_9+x_{10} = 3[/tex3].
Quantas soluções inteiras não negativas possui esta equação?

Resposta

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Resposta: 3432

[TakeMeDown]

Faça x1 = 0 e depois x1 = 1.

Com isso usamos a fórmula fechada para o cálculo das soluções inteiras não negativas, por meio da combinação completa.

x1 = 0 ---> (9+3-1)C(9-1) = 11C8
x1 = 1 ---> (9+1-1)C(9-1) = 9C8

O gabarito não está coerente para mim: 11C8 + 9C8 = 174.

[goncalves3718]

Acho que Tassandro poderá me ajudar, pois é mais uma análise combinatória!
Ele me recomendou um link de demontração, mas não consegui aplicar!

[Tassandro]

goncalves3718,
Eu concordo com a solução do TakeMeDown.
Não vejo outra maneira de se fazer essa questão.
Eu sou horrível em análise combinatória
Quem mais manja desse assunto aqui no Fórum são o @MateusQqMDMOD e o @csmarceloMOD.

[goncalves3718]

Retirei a questão do Rufino (volume 3) e esse é o gabarito que consta!
Obrigado pela ajuda!

[TakeMeDown]

goncalves3718,

Na 2ª edição devem ter consertado isso, aqui consta o gabarito 174 mesmo.

Questão 307 do capítulo 4.

Esse gabarito que vc postou é da questão 308

[goncalves3718]

Perdão, acabei olhando errado! Muito obrigado...

[goncalves3718]

Tassandro, aplicando aquela fórmula que o Matheus demonstrou, como seria?
[tex3]m=3[/tex3] e [tex3]k=11[/tex3] ?

[MateusQqMDMOD]

goncalves3718, não é possível pois a equação dada no problema não possui coeficientes unitários.

A ideia que conheço para esses casos é a mostrada pelo colega TakeMeDown: dividir o problema em casos. Pelo fato de o lado direito da igualdade ser [tex3]3,[/tex3] os únicos valores inteiros que [tex3]x_1[/tex3] pode assumir são [tex3]0[/tex3] e [tex3]1,[/tex3] caso contrário, [tex3]x_2,[/tex3] ... ou [tex3]x_{10}[/tex3] precisariam ser negativos para que a igualdade ocorresse.

[goncalves3718]

Mas se [tex3]x_1 = 2[/tex3] , [tex3]x_2,x_3,..x_8, x_9 =0[/tex3] e [tex3]x_{10}=1[/tex3] é uma possível solução, não?