Ensino Superior ⇒ Cálculo I (Guidorizzi) - Limites no Infinito Tópico resolvido

[mcarvalho]

Calcule [tex3]\lim_{x\to +\infty}\[\sqrt{x+1}-\sqrt{x+3}\][/tex3]

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A resolução que encontrei trabalhava com a ideia de multiplicar pelo conjugado, ir trabalhando a expressão, enfim, nada muito diferente do habitual. Contudo, ao chegar em [tex3]\lim_{x\to \infty}[\sqrt{x+1}+\sqrt{x+3}][/tex3] ele simplesmente concluía que isso era igual a infinito. É claro que isso é muito intuitivo e previsível, mas gostaria de saber se existe um jeito mais técnico/formal (não necessariamente pelo [tex3]\epsilon /\delta [/tex3] da definição, que sei que daria muito trabalho) de garantir isso. Obrigado!

Resposta

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[edinaely84]

mcarvalho, você toma como exemplo o seguinte limite.

[tex3]\lim_{x\to +\infty}\sqrt{x} [/tex3]

[tex3]y=\sqrt{x}[/tex3]

[tex3]lny=ln\sqrt{x}[/tex3]

[tex3]y=e^{ln\sqrt{x}}[/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow \infty}y=\lim_{x \rightarrow \infty}e^{ln\sqrt{x}}[/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow \infty}y=\lim_{x \rightarrow \infty}e^{lnx^{\frac{1}{2}}}[/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow \infty}y=\lim_{x \rightarrow \infty}e^{\frac{lnx}{2}}=e^{\frac{\infty }{2}}=e^\infty =\infty [/tex3].

Espero ter ajudado!

[mcarvalho]

Ajudou sim! Obrigado!!

[snooplammer]

Também é necessário definir as operações com infinito.

[tex3]\infty + \infty = ?[/tex3]
[tex3]x\cdot\infty = ? \(x \in \mathbb{R} -\{0\}\)[/tex3]
[tex3]\infty - \infty = ?[/tex3]

Entre outras operações.