IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 1958) Equação Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Determine [tex3]m[/tex3] para que o número [tex3]2[/tex3] seja exterior ao intervalo das raízes da equação [tex3](m-1)x^2+(1-2m)x-3=0[/tex3].

Resposta

---

[tex3]m \leq \frac{-2-\sqrt{15}}{2}[/tex3] ou [tex3]\frac{-2+\sqrt{15}}{2} \leq m < 1[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá Aldrin,

Primeiramente, para que o número 2 seja exterior ao intervalo das raízes, devemos garantir que as raízes da equação sejam reais e distintas (pois os complexos não reais não são enumeráveis).

Para garantir que as raízes sejam reais devemos garantir que [tex3]\Delta\ge 0[/tex3]

[tex3]\Delta = (1-2m)^2-4\cdot(m-1)\cdot(-3) \ge 0[/tex3]

[tex3]\Delta = 4m^2+8m-11 \ge 0[/tex3]

Resolvendo esta inequação chegamos em:

[tex3]\boxed{m \leq \frac{-2-\sqrt{15}}{2}}[/tex3] ou [tex3]\boxed{m \geq \frac{-2-\sqrt{15}}{2}}[/tex3]

Esta é a restrição inicial. Agora devemos ver quando o 2 estará no fora do intervalo destas raízes. Vamos, então, avaliar o valor da função [tex3]f(x)=(m-1)x^2+(1-2m)x-3[/tex3] no ponto [tex3]x=2[/tex3]

[tex3]f(2)=(m-1)\cdot 2^2+(1-2m)\cdot 2-3=-5[/tex3]

Quando a parábola tem concavidade positiva (alegre), um valor de [tex3]x[/tex3] estará fora do intervalo definido por suas raízes quando [tex3]f(x)\gt 0[/tex3]. E quando a parábola tem concavidade negativa (triste), x estará fora do intervalo definido por suas raízes quando [tex3]f(x)\lt 0[/tex3].
Como vimos que, independente do valor de [tex3]m[/tex3], [tex3]f(2)[/tex3] é sempre negativa, para que [tex3]x=2[/tex3] esteja fora do intervalo das raízes, devemos ter a parábola com a concavidade para baixo (triste). Ou seja:

[tex3]m-1\lt 0\,\,\Rightarrow\,\, \boxed{m\lt 1}[/tex3]

A interseção de todos estes intervalos encontrados é:

[tex3]\boxed{m\in\left]{-}\infty;\,\frac{-2-\sqrt{15}}{2}\right]\cup\left[\frac{-2+\sqrt{15}}{2};\,1\right[}[/tex3]