Olimpíadas ⇒ (102 Combinatorial Problems - 16) Permutação Simples Tópico resolvido

[goncalves3718]

Nove cadeiras que estão em uma fileira devem ser ocupadas por seis alunos e pelos professores Alfa, Beta e Gama. Esses três professores chegam antes dos seis alunos e escolhem suas cadeiras de modo que cada professor fique entre dois alunos. De quantas maneiras os professores podem escolher suas cadeiras?

[MateusQqMDMOD]

Olá, goncalves3718.

Vamos resolver o problema de trás pra frente, isto é, organizando primeiro os alunos e, depois, os professores. Os seis alunos em fila podem ser organizados, por exemplo, do seguinte modo

[tex3]\begin{array}{ccccccccc}
& \text{A}_1 & \underline{} & \text{A}_2 & \underline{} & \text{A}_3 & \underline{} &\text{A}_4& \underline{} & \text{A}_5 & \underline{} & \text{A}_6& \\ & & 1 & & 2 & & 3 & & 4 & & 5 & & \\\end{array}[/tex3]

Agora, note que os espaços assinalados correspondem aos locais onde devemos arranjar (no sentido de arrumar, organizar, etc..) os professores, de sorte que teremos sempre cada professor entre dois alunos. O professor Alfa pode escolher seu lugar de [tex3]5[/tex3] modos e, em seguida, o professor Beta poderá escolher seu lugar de [tex3]4[/tex3] modos e, por fim, o professor Gama poderá escolher seu lugar de [tex3]3[/tex3] modos.

A resposta é [tex3]5 \times 4 \times 3 = 60.[/tex3]