Pré-Vestibular ⇒ (UFSM - 1999) Geometria Espacial: Poliedros

[Deekah]

Um poliedro convexo tem [tex3]12[/tex3] faces triangulares e as demais, pentagonais. Sabendo que o número de arestas é o triplo do número de faces pentagonais, então a soma dos ângulos de todas as faces pentagonais é, em radianos, igual a:

a) [tex3]3\pi[/tex3]
b) [tex3]12\pi[/tex3]
c) [tex3]36\pi[/tex3]
d) [tex3]64\pi[/tex3]
e) [tex3]108\pi[/tex3]

[adrianotavares]

Sejam [tex3]p[/tex3] e [tex3]t,[/tex3] respectivamente, o número de faces pentagonais e triangulares.

Sabemos que [tex3]A=3p[/tex3] e que [tex3]t=12.[/tex3] Como [tex3]5p+3t=2A,[/tex3] segue que

• [tex3]5p+3\cdot 12=2\cdot 3p\Longrightarrow p=36.[/tex3]

Portanto, a soma pedida é dada por

• [tex3]36\cdot \pi\cdot (5-2)=108\pi \text{ rad}.[/tex3]

Obs.: A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de [tex3]n[/tex3] lados é dada por [tex3]\pi\cdot (n-2) \text{ rad}.[/tex3]

[andre90012002]

Como [tex3]5p+3t=2A,[/tex3] segue que

• [tex3]5p+3\cdot 12=2\cdot 3p\Longrightarrow p=36.[/tex3]

Portanto, a soma pedida é dada por

• [tex3]36\cdot \pi\cdot (5-2)=108\pi \text{ rad}.[/tex3]

Obs.: A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de [tex3]n[/tex3] lados é dada por [tex3]\pi\cdot (n-2) \text{ rad}.[/tex3]

[tex3]5p+3t=2A[/tex3]

Pessoal estou com esta questão em aberto.Mas não entendi a parte citada acima.

ALGUEM SE HABILITA?

[Protágoras]

Sei que já fazem 10 anos, mas aí vai a explicação...

Extraindo os dados:
A=3P
12 faces triangulares
p=faces pentagonais
x=soma dos ângulos do PENTÁGONO

1. vamos descobrir o número de LADOS :
[tex3]N= (12.3)+(5.P)[/tex3]
[tex3]N=36+P
[/tex3]
2.Usaremos a seguinte fórmula: N= 2A
N= NÚMERO DE LADOS
A= ARESTAS
[tex3]2.(3p)=36+5p[/tex3]
[tex3]6p-5p=36[/tex3]
[tex3]p=36[/tex3]

3.descobrimos a soma dos ângulos do pentágono:
[tex3]180.(n-2)[/tex3]
[tex3]π.(5-2)[/tex3]
[tex3]3π[/tex3]
como são 36 só multiplicar:
[tex3]36.3π[/tex3]
[tex3]108π [/tex3]