Ensino Médio ⇒ Analise Combinatoria, Principio fundamental da contagem Tópico resolvido

[Menitham]

Disponde de 4 cores, branco, amarelo, azul e vermelho, cada regiao deve ser pintada com uma unica cor, de modo que a regiao vizinha tenha cores diferentes. De quantos modos pode-se pintar as regioes;

obs; A regiao central do zero nao é pintada
Obs; Zero : 4 regioes,
Um; 2 regicoes
Dois; 3 regioes
Tres; 5 regioes

[carlosaugusto]

Olá, Menitham,

acredito que seja o seguinte:

para o 0 será necessário a divisão em casos, pois os quadrantes B e D poderão ter as mesmas cores ou cores diferentes (considere a imagem que fiz para melhor entendimento):

img.png (16.4 KiB) Exibido 2076 vezes

1) B e D (cores iguais) [tex3]\rightarrow [/tex3] região A poderá ser pintada com 4 cores, B 3 cores, D 1 cor (B=D), C 3 cores diferentes, pois B e D são iguais, e sobram 3 cores. Pelo principio fundamental da contagem: [tex3]4.3.1.3 = 36[/tex3]
2) B e D (cores diferentes) [tex3]\rightarrow [/tex3] região A poderá ser pintada com 4 cores, B 3 cores, D 2 cores, C 2 cores. Portanto, pelo princípio fundamental da contagem: [tex3]4.3.2.2= 48[/tex3]

Como pode ocorrer a situação 1 OU 2, será necessário a soma dos resultados. 36 + 48= 84 modos diferentes.

para o 1 [tex3]\rightarrow 4.3 = 12[/tex3]
para o 2 [tex3]\rightarrow 4.3.3 = 36[/tex3]
para o 3 [tex3]\rightarrow 4.3.3.3.3 = 324[/tex3]

[Menitham]

Ola, @carlosaugusto é impossivel uma das regioes terem 4 possibilidades de cores, pois sempre havera 1 ou mais vizinhanças ,

[carlosaugusto]

OLa, carlosaugusto é impossivel uma das regioes terem 4 possibilidades de cores, pois sempre havera 1 ou mais vizinhanças ,

A região com 4 possibilidades de cores é a primeira pintada. Partindo do seguinte raciocínio que nenhuma das regiões ainda foram pintadas, a primeira região, apenas a primeira, terá 4 possibilidades de escolha. A partir disso, inicia-se a condição de cores distintas entre as regiões vizinhas.

[Menitham]

@carlosaugusto o 3 tem 5 regioes

[carlosaugusto]

Menitham, pela imagem não ficou claro a intersecção das regiões. Então, para o 3, basta multiplicar 3 cores possíveis mais uma vez. Editei minha mensagem.

[carlosaugusto]

Menitham, minha primeira resolução para o preenchimento das regiões de 0 estava incorreta, não considerei que setores opostos poderiam ter a mesma cor. Refiz a resposta, peço que considere olhar novamente, como também, analisar a seguinte questão do ENEM viewtopic.php?t=53099 que cobra a mesma ideia, nesse tópico possui uma excelente resolução e um vídeo do Prof. Caju explicando detalhadamente.

Agradeço ao MateusQqMD pela ajuda.