IME / ITA ⇒ (EFOMN) Números Complexos Tópico resolvido

[ASPIRADEDEU]

O número complexo, z = |z| · (cos θ + i · sen θ), sendo i a unidade imaginária e 0 ≤ θ ≤ 2π, que satisfaz a inequação |z + 3i| ≤ 2 e que possui o menor argumento θ, é

a)-[tex3]\frac{5}{3} - \frac{2\sqrt{5}}{3}[/tex3] i

b)-[tex3]\frac{5}{3} + \frac{2\sqrt{5}}{3}[/tex3] i

c)-[tex3]\frac{2\sqrt{5}}{3} - \frac{5}{3}[/tex3] i

d)-[tex3]\frac{2\sqrt{5}}{3} + \frac{5}{3}[/tex3] i

e)-2 [tex3]\sqrt{5}[/tex3]+5i

Resposta

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GAB:C

[csmarceloMOD]

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[tex3]z_1, z_2 \in\{z\in\mathbb{C}\mid|z|\leq2\}[/tex3]

[tex3]z_3=z_1+3i[/tex3]
[tex3]z_4=z_2+3i[/tex3]

[tex3]z_3, z_4 \in\{z\in\mathbb{C}\mid|z+3i|\leq2\}[/tex3]

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Repare que [tex3]\beta[/tex3] deve ser o maior possível para que [tex3]\alpha[/tex3] seja o menor possível. Isso ocorre quando [tex3]z[/tex3] (no desenho, representado por [tex3]z_5[/tex3]) está situado na interseção da circunferência de centro [tex3](0,-3)[/tex3] com a tangente [tex3]\overleftrightarrow{Az_5}[/tex3].

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Por Pitágoras,

[tex3]AB^2=(z_5B)^2+(z_5A)^2[/tex3]

[tex3]3^2=2^2+(z_5A)^2[/tex3]

[tex3]z_5A=\sqrt{5}[/tex3]

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Das outras relações métricas no triângulo retângulo:

1)

[tex3](z_5A)^2=AB\cdot AC[/tex3]

[tex3]\sqrt{5}^2=3\cdot AC[/tex3]

[tex3]AC=\frac{5}{3}[/tex3]

2)

[tex3]z_5C\cdot AB=z_5A\cdot z_5B[/tex3]

[tex3]z_5C=\frac{2\sqrt{5}}{3}[/tex3]

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Se não entender algo, só perguntar.