Ensino Médio ⇒ Área e relações métricas nos quadriláteros Tópico resolvido

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Uma circunferência que passa pelo vértice A de um paralelogramo ABCD intercepta a diagonal AC = 16cm no ponto P e os lados AB = 12cm e AD = 8cm nos pontos M e N, tais que AM = 10cm e AN = 5cm. Calcular a corda AP.

Resposta

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10cm

[Tassandro]

Zhadnyy,
Fazendo [tex3]\angle CAD=α[/tex3] e [tex3]\angle BAC=θ[/tex3], podemos calcular os cossenos de α e θ pelos dados fornecidos usando a Lei dos cossenos
Achei [tex3]\cosα=\frac{11}{16}\to\senα=\frac{3\sqrt{15}}{16}[/tex3] e [tex3]\cosθ=\frac78\to\senθ=\frac{\sqrt{15}}{8}[/tex3]
Assim, [tex3]\cos(α+θ)=\frac14[/tex3]
Assim, podemos usar novamente a Lei dos cossenos para achar a diagonal [tex3]MN[/tex3]:
[tex3]MN^2=AN^2+AM^2-2\cdot AN\cdot AM\cos(α+θ)[/tex3]
Achei que [tex3]MN=5\sqrt2[/tex3]
Agora, calcule as [tex3]MP[/tex3] e [tex3]NP[/tex3] em função de [tex3]AP[/tex3] usando a lei dos cossenos e por fim, use o teorema de Ptolomeu
[tex3]AP\cdot MN=AN\cdot MP+AM\cdot NP[/tex3]
Vai dar umas contas boas, mas só pensei nisso até agora...
Espero que dê certo (tô corrido para fazer as contas)