Ensino Médio ⇒ Análise Combinatória - Preparação ITA Tópico resolvido

[goncalves3718]

Quantas são as funções [tex3]f: \{1,2,3,4,5\} \rightarrow \{1,2,3,4,5\}[/tex3] que satisfazem [tex3]f(f(x))= f(x)[/tex3] para todo [tex3]x \in \{1,2,3,4,5\}[/tex3]?

[Auto Excluído (ID: 24633)]

Não sei se etá certo:
Definições:
i) define-se ponto fixo de uma função qualquer [tex3]f[/tex3], qualquer [tex3]a\in D(f)[/tex3] tal que [tex3]f(a)=a[/tex3]
Sejam [tex3]A[/tex3] e [tex3]n[/tex3], o conjunto de pontos fixos de [tex3]f[/tex3] e a cardinalidade deste, respectivamente.

Afirmação (*): [tex3]Im(f)=A[/tex3] é a condição necessária e suficiente para que se tenha [tex3]f(f(x))=f(x)[/tex3]
prova: De fato se [tex3]f(b)=\alpha[/tex3], aplicando a identidade do enunciado temos [tex3]f(f(b))=f(b) \iff f(\alpha)=\alpha \iff \alpha\in A[/tex3].

Solução:
Primeiramente, podemos escolher quais elementos de [tex3]D(f)[/tex3] são pontos fixos, como há [tex3]n[/tex3] pontos fixos e [tex3]5[/tex3] elementos no domínio temos que isso pode ser feito de [tex3]5 \choose n[/tex3] maneiras.
Depois podemos escolher a imagem de cada elemento que não é ponto fixo, como são [tex3]5-n[/tex3] pontos não fixos e a cada elemento não fixo devemos associar um elemento fixo (afirmação [tex3](*)[/tex3]), segue do Princípio Multiplicativo da Contagem que isso pode ser feito de [tex3]n^{5-n}[/tex3] maneiras.
Então, temos que existem [tex3]5 \choose {n} \cdot~n^{5-n}[/tex3] funções [tex3]f[/tex3]´s com [tex3]n[/tex3] pontos fixos.
Como [tex3]A=Im(f)[/tex3], devemos ter que [tex3]1\le n\le 5[/tex3], pois deve haver no mínimo [tex3]1[/tex3] elemento na imagem e no máximo [tex3]5[/tex3], já que a imagem está contida no contradomínio.
Como [tex3]n[/tex3] é cardinalidade, [tex3]n[/tex3] é natural então [tex3]n=1,2,3,4,5[/tex3], então a resposta do nosso problema é
[tex3]{5 \choose 1} \cdot ~1^{5-1}+ {5 \choose 2} \cdot ~2^{5-2}+ {5 \choose 3} \cdot ~3^{5-3}+ {5 \choose 4} \cdot ~4^{5-4} {5 \choose 5} \cdot ~ 5^{5-5}=196[/tex3]

À título de curiosidade, de onde você tirou essa questão?
Obs: tentei deixar a minha resolução o mais simples possível, não usando notações de somatório e tentando explicar bem os meus raciocínios; caso algo não tenha ficado claro... bem, é isso que acontece quando você coloca o nome ITA no título.

[goncalves3718]

A questão eu acabei encontrando na internet, mas não me lembro o link!