Pré-Vestibular ⇒ (FMJ 2014) Polinômios Tópico resolvido

[Lars]

(FMJ 2014) O polinômio [tex3]P_1(x) = (x + 1) \cdot (x^2 + 1) \cdot (x^3 + 1) \cdot … \cdot (x^{100} + 1) [/tex3] quando dividido por [tex3]P_2(x) = x^2 + x +1[/tex3] resulta no quociente [tex3]Q(x)[/tex3] e resto [tex3]R(x).[/tex3] Sendo [tex3]g[/tex3] o grau de [tex3]Q(x)[/tex3] e [tex3]n[/tex3] a ordenada do ponto em que o gráfico de [tex3]P_1(x),[/tex3] no plano cartesiano, corta o eixo vertical, então o valor de [tex3]g+n?[/tex3]

A) 5049.
B) 51.
C) 2 526.
D) 5 051.
E) 101.

Resposta

---

(A) 5 049

.

[MateusQqMDMOD]

Olá, novamente, Lars.

Note que o grau de [tex3]p_1(X)[/tex3] será obtido a partir do produto dos seguintes termos:

[tex3]\begin{aligned}p_1(X) & = ({\color{red}X} + 1) \cdot ({\color{red}X^2} + 1) \cdot ({\color{red}X^3} + 1) \cdot ... \cdot ({\color{red}X^{99}} + 1) \cdot ({\color{red}X^{100}} + 1) \\ & = X \cdot X^2 \cdot X^3 \cdot ... \cdot X^{99} \cdot X^{100} + ...\end{aligned},[/tex3]

ou seja, o grau de [tex3]p_1(X)[/tex3] é [tex3]5050,[/tex3] pois

[tex3]\begin{aligned} p_1(X) & = X \cdot X^2 \cdot X^3 \cdot ... \cdot X^{99} \cdot X^{100} + ... \\ & = X^{1 + 2 +3 +4 + .. + 99 + 100} + .. \\ & = X^{5050} + ... \end{aligned}[/tex3]

Agora, veja que o grau do quociente [tex3]q(X)[/tex3] é [tex3]5048,[/tex3] pois o produto entre [tex3]p_2(X) = X^2 + X + 1[/tex3] e [tex3]q(X)[/tex3] deve resultar no grau de [tex3]p_1(X),[/tex3] uma vez que

[tex3]p_1(X) = q(X)p_2(X) + r(X) [/tex3]

e daí [tex3]g = 5048.[/tex3]

Por fim, perceba que [tex3]p_1(X)[/tex3] intercepta o eixo vertical em [tex3]x= 0,[/tex3] ou seja,

[tex3]\begin{aligned}p_1(0) & = ( 0 + 1) \cdot (0^2 + 1) \cdot (0^3 + 1) \cdot … \cdot (0^{100} + 1) \\ & = 1\end{aligned}[/tex3]

Portanto, a resposta é [tex3]g + n = 5048 + 1 = 5049.[/tex3]


Nota:

A soma [tex3]1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100 = 5050[/tex3] é obtida a partir da soma dos termos de uma progressão aritmética, em que [tex3]a_1 = 1,[/tex3] [tex3]a_{100} = 100[/tex3] e o número de termos é [tex3]100:[/tex3]

[tex3]S_{pa} = \frac{ \( a_1 + a_n \) n}{2}[/tex3]