Pré-Vestibular ⇒ (FGV) Equação exponencial Tópico resolvido

[anastacialina]

Oi, gente. Como eu disse em um post anterior e costumo testar valores antes de resolver uma equação: 0, 1 e às vezes –1. E nem sempre funciona. Mas agora funcionou. Eu encontrei como resposta a mesma que está no gabarito. Além do mais encontrei como resposta –1 ± i * 3^(1/2). Que não está no gabarito. Achei estranho, mas acredito que meu resultado esteja condizente. Afinal i² = —1, né? Tipo, eu não estudei números complexos ainda, mas acredito já ter visto isso uma vez. Se isso estiver certo, então creio que –1 ± i * 3^(1/2) deva estar correto. Bem, minha real dúvida reside no fato de que eu encontrei 1 como resposta, mas foi à base do "chute". Vocês poderiam encontrá-lo, ou me dar alguma dica, com um pensamento mais bonito (formal, sem chute)? ♥♥♥

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FGV — Determine o conjunto-solução da equação [tex3]\mathrm{X^{X^3 - 8} = 1}[/tex3].

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Mensagem alternativa a fim de faciliar a busca posterior em motores de busca:
• FGV — Determine o conjunto-solução da equação x^(x^3 - 8) = 1.
• FGV — Determine o conjunto-solução da equação x elevado a x elevado a três menos 8

Resposta

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S = {1; 2}

[mcarvalho]

Bom dia.

[tex3]x^{x^3 - 8} = 1=x^0\rightarrow x^3-8=0[/tex3]

2 é raiz trivial de [tex3]x^3-8[/tex3], pois [tex3]2^3=8[/tex3]. Pelo Teorema Fundamental da Álgebra sabemos que existem outras duas raízes, reais ou não, distintas ou não.

Existem alguns meios de descobrir as outras raízes. Uma forma que acho mais razoável é usando a conhecida fatoração [tex3]a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1})[/tex3], que para [tex3]n=3[/tex3] assume [tex3]a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)[/tex3].

Então temos que [tex3]x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)[/tex3]. Resolva [tex3]x^2+2x+4[/tex3] e obtenha as raízes complexas [tex3]x=-1\pm \sqrt 3i[/tex3]

Provavelmente o exercício considerava a equação no universo real, como é de praxe. Não sei se o enunciado está faltoso ou se ele deixou oculta essa informação, mas de qualquer modo, esse é o motivo que acho razoável sobre por que ele não considerou as raízes complexas que eu citei acima.

Além disso, perceba que 1 é raiz por um caso mais trivial. Se [tex3]x^a=1[/tex3], de duas uma: ou [tex3]1=x^0\rightarrow \boxed{a=0}[/tex3] (foi o que fizemos) ou [tex3]x=1\rightarrow 1^a=1[/tex3] sempre.

[oficialmb9]

Oi, bom dia!

Primeiro perceba que 1 é solução, pois [tex3]1^{x}[/tex3] = 1 para todo x [tex3]\in \mathbb{R}[/tex3].

Agora perceba que posso escrever [tex3]x^{x^{3} - 8} = x^{0}[/tex3]

Portanto, [tex3]x^{3}[/tex3] - 8 = 0

(x - 2).([tex3]x^{2}[/tex3] + 2x + 4) = 0

x = 2 ou x = -1 [tex3]\pm [/tex3] [tex3]\sqrt{3}[/tex3] i

Acho que a questão devia ter dito que x [tex3]\in \mathbb{R}[/tex3].

Acabei de entrar aqui, mas espero que consiga entender.

[anastacialina]

Então deixe me ver se eu entendi: não há grandes explicações, raiz igual a um é um caso trivial por casua de 1ᵃ = 1. Faz sentido. Ei, mas não deveria ser b² = 2²?
[tex3]x^3-8=(x-2)(x^2+2x+2)[/tex3]

[mcarvalho]

Faz sentido. Ei, mas não deveria ser b² = 2²?

@anastacialina, deveria, claro. Erro rude meu. Já está corrigido. Obrigado. Agradeço ao @oficialmb9 também, foi pela resposta dele que eu vi que tinha algo errado na minha.

[anastacialina]

@oficialmb9, oi amiguinho. Seja muito bem-vindo. Eu não tenho muita propriedade para falar isso, pois sou apenas uma usuária comum. Mas tenho minha certeza tendendo ao infito que o pessoal (tipo os moderadores e tals) também diriam o mesmo. Espero que você fique, aqui é um ambiente muito saudável. Pelo menos pra mim, kkk. O pessoal me trata super bem. Brincadeira, não é saudável só para mim. Acreito que para você também será. Ah... eu gostaria de eleger sua resposta como "Aceitar esta resposta", mas o @mcarvalho respondeu primeiro. E assim eu meio que fico obrigada a seguir o critério de quem chegar primeiro. Mas eu entendi a sua resposta e eu lhe agradeço infinitamente por isso.

[oficialmb9]

Que isso! Estamos aqui para somar, @mcarvalho.

[oficialmb9]

@anastacialina, tudo bem. Eu estava aprendendo como se usa respondendo sua mensagem kkk então demorei um pouco. Porém, fico feliz por ter ajudado e agradeço pelas palavras. Foram as mais bonitas que vi até agora.