Ensino Superior ⇒ Geometria Analítica - Seções cônicas

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Determine a equação da parábola com foco F = (0,0) e reta diretriz x+y=2

A resolução que consta no meu livro (Geometria Analítica e Vetores, do Reginaldo J. Santos) é a seguinte:

[tex3]\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}[/tex3]= [tex3]\frac{(x+y-2)}{\sqrt{2}}[/tex3]

Eu não entendi o motivo do lado direito da equação ser assim. Alguém poderia me explicar? Obrigado.

Resposta

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x^2-2xy+y^2+4x+4y-4=0

[Auto Excluído (ID: 23699)]

A reta diretriz é inclinada
Pela equação, sabemos que ela passa os eixos em (2,0) e (0,2)
Logo, ela faz um ângulo de 135º com o eixo x...
Podemos rotacionar a reta usando o sistema de rotação:
[tex3]x=x'cos(45)-y'sen(45)\\
y=x'sen(45)+y'sen(45)[/tex3]
Substituindo em x+y=2
Temos
[tex3]x'=\sqrt{2}[/tex3]

O foco segue sendo F=(0,0)
Portanto temos uma parábola com concavidade para baixo
Com parâmetro = raiz de 2

Logo sua equação reduzida é dada por

[tex3](x'-xv)^2=-2p(y-yv)\\
(x'-0)^2=-2\sqrt{2}(y'-\frac{\sqrt{2}}{2})[/tex3]

Agora precisamos voltar as coordenadas x' e y' para o sistema inicial
Para isso usamos a seguinte rotação
[tex3]x'=xcos(-45)+ysen(-45)\\
y'=-xsen(-45)+ycos(-45)[/tex3]

Substituindo isso na equação da parábola que encontramos
A não ser que eu tenha errado alguma conta no processo
Chegamos em
[tex3]x^2-2xy+y^2+2x+2y-2=0[/tex3]

Peço perdão por ter feito a solução resumida. Quando fui postar a solução completa, apertei, sem querer, para fechar a página. Não sei como surgiu essa solução que você mencionou. Essa seria a minha.