Ensino Superior ⇒ Cáculo: Área do Triângulo em função de θ Tópico resolvido

[helloashenone]

A altura de um triângulo isósceles mede 3m e o ângulo do vértice é 2 θ, de acordo com a figura a seguir. Pede-se:

triangulo

Capturar.PNG (5.82 KiB) Exibido 1001 vezes

a) (8 pontos)Uma expressão que descreve a área deste triângulo em função de θ. Dica: use trigonometria.

b) (8 pontos) Se θ aumenta a uma velocidade de 0,01 rad/s, como varia a área do triângulo
no instante em que θ = π / 3 Rads ?

[erihh3]

Pela figura, [tex3]x=3\tan(\theta)[/tex3]

Calculando a área do triangulo, tem-se:

[tex3]A=\frac{x\cdot 3}{2}[/tex3]

Substituindo o valor de x:

[tex3]A=\frac{9\cdot \tan(\theta)}{2}[/tex3]

Para responder a letra b, basta derivar em relação ao tempo.

[tex3]\frac{dA}{dt}=\frac{9}{2}\frac{d\tan(\theta)}{dt}[/tex3]

Regra da cadeia [tex3]\frac{d\tan(\theta)}{dt}=\frac{d\tan(\theta)}{d\theta}\cdot \frac{d\theta}{dt}[/tex3]

Substituindo a derivada da tangente, tem-se:

[tex3]\frac{dA}{dt}=\frac{9}{2}\sec^2(\theta)\cdot \frac{d\theta}{dt}[/tex3]

No enunciado foi dito que quando θ = π / 3, [tex3]\frac{d\theta}{dt}=0,01[/tex3]. Substituindo, vem:

[tex3]\frac{dA}{dt}=\frac{9}{2}\sec^2(\pi/3)\cdot 0,01[/tex3]

[tex3]\frac{dA}{dt}=\frac{9}{2}\cdot 4\cdot 0,01=0,18\;m^2/s[/tex3]

[helloashenone]

@erihh3

Pela figura, [tex3]x=3\tan(\theta)[/tex3]

Calculando a área do triangulo, tem-se:

[tex3]A=\frac{x\cdot 3}{2}[/tex3]

Nessa area to triângulo, o correto não seria usar 2 x , que é o comprimento da base?
Pode me explicar o uso de 1 x somente? Grato

[erihh3]

Isso.
Na resposta final seria só multiplicar por 2 porque a derivada é uma transformação linear.
O resto da solução é a mesma coisa.
No caso, [tex3]A=9\cdot \tan(\theta)[/tex3] e [tex3]\frac{dA}{dt}=0,36\;m^2/s[/tex3]