(IMO 1979) Frações Irredutíveis

Tassandro · 2020-06-15T19:17:04+00:00

[ref=#ff4080]pedro1729[/ref], Dever de casa :mrgreen: Dica: 1979 é primo

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Auto Excluído (ID: 24633)

Jun 2020 15 16:17

(IMO 1979) Frações Irredutíveis

Mensagempor Auto Excluído (ID: 24633) » 15 Jun 2020, 16:17

Mensagem por Auto Excluído (ID: 24633) » 15 Jun 2020, 16:17

Sejam [tex3]p, q[/tex3] números naturais primos entre si tais que:
[tex3]~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\dfrac{p}{q}=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-...-\dfrac{1}{1318}+\dfrac{1}{1319}[/tex3].
Prove que [tex3]p[/tex3] é divisível por [tex3]1979[/tex3].

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Auto Excluído (ID: 24633)

Tassandro Offline: Mensagens: 1905; Registrado em: 15 Fev 2020, 17:01; Localização: Teresina, PI.; Agradeceu: 129 vezes; Agradeceram: 151 vezes

Jun 2020 15 16:29

Re: (IMO 1979) Frações Irredutíveis

Mensagempor Tassandro » 15 Jun 2020, 16:29

Mensagem por Tassandro » 15 Jun 2020, 16:29

pedro1729,
Podemos escrever assim
[tex3]\frac pq=1+\frac12+\frac13+...+\frac1{1319}-2\bigg(\frac12+\frac14+...+\frac1{1318}\bigg)=\frac{1}{660}+\frac1{661}+...+\frac{1}{1319}[/tex3]
Agora, veja que [tex3]\frac1{660}+\frac{1}{1319}=\frac{1979}{660\cdot1319},\frac{1}{661}+\frac{1}{1318}=\frac{1979}{661\cdot1318}...[/tex3]
Logo, é fácil ver que [tex3]1979\mid p.[/tex3]

Editado pela última vez por Tassandro em 15 Jun 2020, 16:29, em um total de 1 vez.

Dias de luta, dias de glória.

Tassandro

Auto Excluído (ID: 24633)

Jun 2020 15 18:10

Re: (IMO 1979) Frações Irredutíveis

Mensagempor Auto Excluído (ID: 24633) » 15 Jun 2020, 18:10

Mensagem por Auto Excluído (ID: 24633) » 15 Jun 2020, 18:10

Tassandro escreveu: 15 Jun 2020, 16:29 pedro1729,
[...] Logo, é fácil ver que [tex3]1979\mid p.[/tex3]

Só faltou você provar que [tex3]mdc(1979, \displaystyle\sum_ {i=660}^{989} n(1979-n))=1[/tex3].

Auto Excluído (ID: 24633)

Tassandro Offline: Mensagens: 1905; Registrado em: 15 Fev 2020, 17:01; Localização: Teresina, PI.; Agradeceu: 129 vezes; Agradeceram: 151 vezes

Jun 2020 15 18:28

Re: (IMO 1979) Frações Irredutíveis

Mensagempor Tassandro » 15 Jun 2020, 18:28

Mensagem por Tassandro » 15 Jun 2020, 18:28

pedro1729,
Dever de casa

Dica: 1979 é primo

Editado pela última vez por Tassandro em 15 Jun 2020, 18:30, em um total de 1 vez.

Dias de luta, dias de glória.

Tassandro

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(IMO - 1979) Soma de Frações

Últ. msg por FilipeCaceres « 15 Jul 2012, 18:16
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 1
por theblackmamba » 10 Jul 2012, 10:44 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

theblackmamba

Seja [tex3]m[/tex3] e [tex3]n[/tex3] números inteiros positivos tal que:

[tex3]\frac{m}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...-\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319}[/tex3].

Prove que [tex3]m[/tex3] é divisível por 1979.

Últ. msg

FilipeCaceres

Olá theblackmamba,

Vou usar o método que já mostrei várias vezes no fórum.

[tex3]\frac{m}{n}= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{1318} + \frac{1}{1319} - (1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{659})[/tex3]
\frac{m}{n}=...
FilipeCaceres1theblackmamba1: 1 Resp.; 905 Exibições; Últ. msg por FilipeCaceres
15 Jul 2012, 18:16

fraçoes irredutiveis

Últ. msg por walisson « 13 Jul 2010, 17:23
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 1
por rean » 11 Jul 2010, 11:01 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

rean

Ache a soma de todas as frações positivas, irredutiveis, menores do que 1, e da forma [tex3]\frac{n}{2005}[/tex3],onde n é um número inteiro.

Resp.800

Últ. msg

walisson

A soma será:
[tex3]\frac{1}{2005} + \frac{2}{2005} + \frac{3}{2005}[/tex3]+...+[tex3]\frac{2003}{2005} + \frac{2004}{2005}[/tex3]

Porém como 2005 = 5.401, devem ser retiradas as frações com numerador múltiplo de 5 ou 401. E por PA...
rean1walisson1: 1 Resp.; 1182 Exibições; Últ. msg por walisson
13 Jul 2010, 17:23

(Aústria - 2002) Frações irredutíveis

Últ. msg por lucas36 « 02 Jan 2012, 21:48
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 1
por theblackmamba » 02 Jan 2012, 19:48 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

theblackmamba

Determine o menor inteiro positivo x para o qual todas as frações:

[tex3]\frac{3x + 9}{8} ,\,\frac{3x + 10}{9} ,\,\frac{3x + 11}{10}, \, ... ,\, \frac{3x + 49}{48}[/tex3] são irredutíveis.

Últ. msg

lucas36

As fracões são da forma [tex3]\dfrac{3x+a+1}{a}[/tex3].
Para estas serem irredutíveis, devemos ter [tex3]\text{mdc}(3x+a+1, a)=1[/tex3], mas [tex3]\text{mdc}(3x+a+1, a)=\text{mdc}(3x+1, a)=1[/tex3], isto é, nenhum primo que divida [tex3]a[/tex3]...
lucas361theblackmamba1: 1 Resp.; 948 Exibições; Últ. msg por lucas36
02 Jan 2012, 21:48

(Cone Sul - 2010) Frações Irredutíveis

Últ. msg por poti « 13 Out 2012, 12:48
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 3
por Alexander » 12 Out 2012, 10:06 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

Alexander

Pedro tem que escolher duas frações irredutíveis, cada uma com numerador e denominador positivos, tais que:

• A soma das duas frações seja igual a 2.
• A soma dos numeradores das duas frações seja igual a 1000.

De quantas maneiras Pedro pode fazer...

Últ. msg

poti

Essa é chata, pelo menos da forma que enxerguei.

[tex3]\begin{cases}\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = 2\\a + c = 1000\\b + d \leq 500\\mdc(a,b) = 1\\mdc(c,d)=1\end{cases}[/tex3]

Para a segunda equação nós temos [tex3]\left(\begin{array}{cc} 1000 + 1 \\ 1 \end{array}\right) = 1001[/tex3]...
Alexander2Dick1poti1: 3 Resp.; 1483 Exibições; Últ. msg por poti
13 Out 2012, 12:48

(UFF 2018 II) Frações irredutíveis

Últ. msg por jomatlove « 28 Jul 2018, 08:41
Enviado em Ensino Médio
Resp.: 2
por edinaldoprof » 27 Jul 2018, 16:38 » em Ensino Médio

Primeira Postagem

edinaldoprof

Efetue e dê a resposta simplificada, em forma de fração irredutível:

a) [tex3]\frac{0,02}{0,1}-0,54.\frac{1}{0,9}[/tex3]

b) [tex3]\left(\frac{2}{\frac{2}{5}}\right)^{-1}.\frac{5}{6-\frac{1}{2}}+\frac{13}{(2^{2}+3^{2})^{2}}[/tex3]

Últ. msg

jomatlove

b)
[tex3]\frac{\frac{2}{5}}{2}.\frac{5}{\frac{12}{2}-\frac{1}{2}}+\frac{13}{(4+9)^{2}}=\frac{1}{5}.\frac{10}{11}+\frac{13}{13^{2}}=\frac{2}{11}+\frac{1}{13}=\frac{2.13+11}{11.13}=\frac{37}{143}[/tex3]
jomatlove2edinaldoprof1: 2 Resp.; 1619 Exibições; Últ. msg por jomatlove
28 Jul 2018, 08:41

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Olá, Anonymous. Tudo bem?

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