IME / ITA ⇒ (Escola Naval 1984) - Derivadas Tópico resolvido

[mvgcsdf]

Se [tex3]F(x) = \{\mid x {-} 2 \mid , se x \geq 1\\ x, se 0 \leq x \leq 1\\ \frac{1}{x^{2}}, se {-}1\lt x \lt 0\\ 1, se x \leq {-}1[/tex3]
tem-se que:
[tex3]I)[/tex3] [tex3]F(x)[/tex3] só não é derivável para [tex3]x = -1[/tex3], [tex3]x = 0[/tex3] e [tex3]x = 1[/tex3].
[tex3]II)[/tex3] [tex3]F(x)[/tex3] são não é contínua para [tex3]x = 0[/tex3].
[tex3]III)[/tex3] [tex3]F(x)[/tex3] só não é derivável para [tex3]x = -1[/tex3], [tex3]x = 0[/tex3], [tex3]x = 1[/tex3] e [tex3]x = 2[/tex3].
[tex3]IV)[/tex3] [tex3]F(x)[/tex3] é contínua em todo o seu domínio, mas não é derivável para [tex3]x = -1[/tex3], [tex3]x = 0[/tex3] e [tex3]x = 1[/tex3].
Pode-se concluir que:
[tex3]A)[/tex3] somente a afirmação [tex3]I[/tex3] é falsa.
[tex3]B)[/tex3] todas as afirmações são verdadeiras.
[tex3]C)[/tex3] as afirmações [tex3]II[/tex3] e [tex3]III[/tex3] são verdadeiras.
[tex3]D)[/tex3] as afirmações [tex3]I[/tex3] e [tex3]III[/tex3] são falsas.
[tex3]E)[/tex3] somente a afirmação [tex3]IV[/tex3] é verdadeira.

[fabit]

Letra C.

Faça o gráfico: ele é composto por 2 semi-retas, 2 segmentos de reta e uma curva. A curva liga o ponto (-1;1) ao [tex3]{+}\infty[/tex3] do eixo dos y, com concavidade para cima, naturalmente. Os segmentos de reta são tais que um deles liga a origem ao ponto (1;1) e o outro liga este último ponto ao (2;0). Uma semi-reta sai deste (2;0) e vai para Nordeste, isto é, ruma ao [tex3](+\infty;+\infty)[/tex3] sob ângulo de 45 graus. A outra semi-reta é horizontal e parte do ponto (-1;1) para a esquerda, ou seja, para [tex3](-\infty;1)[/tex3].

Portanto a presença do x=2 na afirmativa III, que está certa, exclui a possibilidade de a I estar certa. Da mesma forma, a IV é falsa logo de cara porque a II está certa e em x=0 há uma descontinuidade.

[mvgcsdf]

Mais uma vez, Fabit, muito agradecido pela força!
Abs