Olimpíadas ⇒ (Banco de Questões da OBMEP 2020-nível 2) Números com 5 algarismos Tópico resolvido

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Com [tex3]5[/tex3] algarismos não nulos, podemos formar [tex3]120[/tex3] números, sem repetir algarismos em um mesmo número.
Seja [tex3]S[/tex3] a soma de todos esses números. Determine a soma dos algarismos de [tex3]S[/tex3], sendo:
a) [tex3]1, 3, 5, 7[/tex3] e [tex3]9[/tex3] os [tex3]5[/tex3] algarismos;
b) [tex3]0, 2, 4, 6[/tex3] e [tex3]8[/tex3] os [tex3]5[/tex3] algarismos, lembrando que [tex3]02468[/tex3] é um número com [tex3]4[/tex3] algarismos e, portanto, não teremos [tex3]120[/tex3] números neste caso.

Solução do Banco de Questões:

Resposta

---

a) São [tex3]120[/tex3] números ao todo, com todas as combinações possíveis.
Assim, em cada uma das posições (unidade, dezena, centena, unidade do milhar, dezena do milhar), cada um dos algarismos aparece a mesma quantidade de vezes, ou seja, [tex3]\frac{120}{5}=24[/tex3].
Por exemplo, nas unidades, o algarismo 1 aparece 24 vezes, assim como o [tex3]3[/tex3], o [tex3]5[/tex3], o [tex3]7[/tex3] e o [tex3]9[/tex3].
Dessa forma, a soma de todas as unidades é:
[tex3]~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~24\cdot 1+24\cdot 3+24\cdot 5+24\cdot 7+24\cdot 9=[/tex3]
[tex3]~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~24(1+3+5+7+9)=[/tex3]
[tex3]~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~24\cdot 25=600[/tex3]
Sendo assim, a soma [tex3]S[/tex3] é:
[tex3]~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~S=600+600\cdot 10+600\cdot 100+600\cdot 1.000+600\cdot 10.000=[/tex3]
[tex3]~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~600(1+10+100+1.000+10.000)[/tex3].
Por fim, a soma dos algarismos de [tex3]S[/tex3] é [tex3]6+6+6+6+6+0=30[/tex3].
b) Vamos utilizar o mesmo raciocínio do item anterior, contando também os números que iniciam por [tex3]0[/tex3], ou seja, que possuem apenas [tex3]4[/tex3] algarismos.
Chamando essa soma dos [tex3]120[/tex3] números de [tex3]S' [/tex3], temos:
[tex3]~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~S'=24\cdot(0+2+4+6+8)\cdot 11.111[/tex3]
[tex3]~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=24\cdot 20\cdot 11.111[/tex3]
[tex3]~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=5.333.280.[/tex3]
Precisamos descontar agora os números que começam com [tex3]0[/tex3], que é a soma de todos os números de [tex3]4[/tex3] algarismos que podemos formar com [tex3]2[/tex3], [tex3]4[/tex3], [tex3]6[/tex3] e [tex3]8[/tex3] ([tex3]120-24=96[/tex3] ao todo).
Esta soma vale [tex3]24\cdot (2+4+6+8)\cdot 1.111=533.280[/tex3]. Portanto, [tex3]S=S' -533.280=4.800.000[/tex3],
sendo a soma de seus algarismos igual a [tex3]4+8+0+0+0+0+0=12[/tex3].

Não entendi a parte destacada em vermelho da solução. Seriam [tex3]24[/tex3] números formados pelos algarismos [tex3]2,4,6,8[/tex3], e não [tex3]96[/tex3] como está na solução, correto?
[tex3]96[/tex3], na verdade, seriam os números de [tex3]5[/tex3] algarismos de fato formados pelos algarismos [tex3]0,2,4,6,8[/tex3], certo?
Então (caso eu esteja certo), a resposta do problema seria a soma dos algarismos do número [tex3]5.333.280-6\cdot 20\cdot 1.111=5.199.960[/tex3],
ou seja, a resposta do problema seria [tex3]5+1+9+9+9+6+0=39[/tex3].

Estou certo?

[AnthonyC]

Não entendi a parte destacada em vermelho da solução. Seriam [tex3]24[/tex3] números formados pelos algarismos [tex3]2,4,6,8[/tex3] e não [tex3]96[/tex3] como está na solução, correto?

Exato, são só [tex3]24[/tex3], mas o que ele fez ali foi justamente descontar esses [tex3]24[/tex3] do total de [tex3]120[/tex3], resultando em [tex3]96[/tex3], como você mesmo disse.

Então (caso eu esteja certo), a resposta do problema seria a soma dos algarismos do número [tex3]5.33.280-6\cdot 20\cdot 1.111=5.199.960[/tex3],
ou seja, a resposta do problema seria [tex3]5+1+9+9+9+6+0=39[/tex3] .

Confesso não ter entendido o que você propôs aqui. Primeiro que está faltando um digito em [tex3]5.33.280[/tex3], e aquele 6 veio de onde?
No caso, você deveria considerar a soma de todos os números de 4 dígitos formados por [tex3]2,4,6,8[/tex3] e retira-lá do total. Então deveria ser como está na resolução: [tex3]S=5.333.280-24\cdot20\cdot1111=4.800.000[/tex3]

[Auto Excluído (ID: 24633)]

Não entendi a parte destacada em vermelho da solução. Seriam [tex3]24[/tex3] números formados pelos algarismos [tex3]2,4,6,8[/tex3] e não [tex3]96[/tex3] como está na solução, correto?

Exato, são só [tex3]24[/tex3], mas o que ele fez ali foi justamente descontar esses [tex3]24[/tex3] do total de [tex3]120[/tex3], resultando em [tex3]96[/tex3], como você mesmo disse.

Foi exatamente isso que eu disse! Se você observar eles falam que os de [tex3]4[/tex3] algarismos são [tex3]96[/tex3] quem disse o contrário fui eu;
eu disse que os números formados por [tex3]4[/tex3] algarismos são [tex3]24[/tex3], enquanto eles afirmam que são [tex3]96[/tex3].

Então (caso eu esteja certo), a resposta do problema seria a soma dos algarismos do número [tex3]5.333.280-6\cdot 20\cdot 1.111=5.199.960[/tex3] ,
ou seja, a resposta do problema seria [tex3]5+1+9+9+9+6+0=39[/tex3].

Confesso não ter entendido o que você propôs aqui. Primeiro que está faltando um digito em 5.333.280, e aquele 6 veio de onde?
No caso, você deveria considerar a soma de todos os números de 4 dígitos formados por e retira-lá do total. Então deveria ser como está na resolução:
[tex3]S=5.333.280-24\cdot20\cdot1111=4.800.000[/tex3]

Quanto ao dígito faltando foi erro de digitação. Quanto ao [tex3]6[/tex3] bem, foi exatamente isso que eles fizeram no item a):

São [tex3]120[/tex3] números ao todo, com todas as combinações possíveis.
Assim, em cada uma das posições (unidade, dezena, centena, unidade do milhar, dezena do milhar), cada um dos algarismos aparece a mesma quantidade de vezes, ou seja, [tex3]\dfrac{120}{5}=4[/tex3]

No caso, se são [tex3]24[/tex3] números e cada um dos quatro algarismos aparece o mesmo número de vezes, cada um aparece [tex3]\dfrac{24}{4}=6[/tex3]; por isso o [tex3]6[/tex3].
No caso deles, eles fizeram [tex3]\dfrac{96}{4}=24[/tex3], por isso o [tex3]24[/tex3] deles e não porque são [tex3]24[/tex3] números já que eles mesmo afirmaram (erroneamente na minha opinião) que são [tex3]96[/tex3] números e não [tex3]24[/tex3]. Mesmo se você estiver certo, a própria solução deles afirma que são [tex3]96[/tex3] números e não [tex3]24[/tex3]
Então, em qualquer caso, a solução do Banco está se contradizendo, seja nos números ou no raciocínio.

[AnthonyC]

Então, em qualquer caso, a solução do Banco está se contradizendo, seja nos números ou no raciocínio.

Creio que ali na parte vermelha foi mais um erro de comunicação, não de raciocínio.
Só que não tem motivo pra considerar que tem 96 números de 5 algarismos formados por 0,2,4,6,8. O resto do raciocínio, de que são os 120, tirando os 24 que começam com 0, é correto e suficiente pra chegar na resposta certa.

[Auto Excluído (ID: 24633)]

Então, em qualquer caso, a solução do Banco está se contradizendo, seja nos números ou no raciocínio.

Creio que ali na parte vermelha foi mais um erro de comunicação, não de raciocínio.
Só que não tem motivo pra considerar que tem 96 números de 5 algarismos formados por 0,2,4,6,8. O resto do raciocínio, de que são os 120, tirando os 24 que começam com 0, é correto e suficiente pra chegar na resposta certa.

Eu discordo.
Na própria solução deles no item a), eles afirmam que:
Se são [tex3]120[/tex3] números formados pelos algarismos [tex3]1,2,3,4,5[/tex3] e cada um dos [tex3]5[/tex3] aparece o mesmo número de vezes, então cada um aparece [tex3]\dfrac{120}{5}=24[/tex3] vezes nas unidades, dezenas, centenas, unidades de milhar e dezenas de milhar.
Então a soma dos [tex3]120[/tex3] números é [tex3]24(1+3+5+7+9)(1+10+100+1000+10000)=6.666.600[/tex3].
Analogamente no item b) se são [tex3]24[/tex3] números de [tex3]4[/tex3] algarismos [tex3](2,4,6,8)[/tex3] cada um aparecendo a mesma quantidade de vezes então cada um aparece [tex3]\dfrac{24}{4}=6[/tex3] vezes nas unidades, dezenas, centenas e unidades de milhar.
Assim a soma dos [tex3]24[/tex3] números é [tex3]6\cdot 1.111\cdot 20=133320[/tex3].

Foi isso que eu realmente quis dize tipo no a) você multiplica pela quantidade de vezes que cada um aparece (24) e não pelo total (120);
já na b) você multiplica pelo total.
Não faz sentido! As situações são análogas então o raciocínio deve ser o mesmo.
Então só resta duas possibilidades, ou eles multiplicaram por [tex3]24[/tex3] porque acharam que o total é [tex3]96[/tex3] e cada um aparece [tex3]\dfrac{96}{4}=24[/tex3];
ou eles multiplicaram pelo total e o [tex3]96[/tex3] foi só um erro de comunicação como você disse.
Em qualquer caso, tem algo errado seja no raciocínio (multiplicar pelo total) ou nos números (96 ao invés de 24).


espero que tenha entendido o que eu realmente estou dizendo (os raciocínios são diferentes).

[AnthonyC]

Acontece que eu estava entendo a questão errado. Realmente ali na parte vermelha ele considera 96 como sendo o total, mas não é. O raciocínio após isso segue considerando 96, daí o resultado final dá errado. Somei todos os números de 4 algarismos e a soma realmente dá 6*20*1.111

[Auto Excluído (ID: 24633)]

Acontece que eu estava entendo a questão errado. Realmente ali na parte vermelha ele considera 96 como sendo o total, mas não é. O raciocínio após isso segue considerando 96, daí o resultado final dá errado. Somei todos os números de 4 algarismos e a soma realmente dá 6*20*1.111

Obrigado cara! Eu que não deixei claro o meu ponto de vista.