Ensino Médio ⇒ Semelhança de triângulos e paralelismo Tópico resolvido

[matbatrobin]

[tex3]ABCD[/tex3] é um quadrado, [tex3]\overline{CF}[/tex3] é bissetriz do ângulo [tex3]A\hat{C}D[/tex3], e [tex3]\overline{BPQ}[/tex3] é perpendicular a [tex3]CF[/tex3], prove que [tex3]DQ=2PE[/tex3].

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as diagonais são perpendiculares entre si, então EPB é um triângulo retângulo já que [tex3]\angle FPC = 22,5[/tex3] , logo [tex3]\angle FPC = \angle EBP = 22,5[/tex3] . sendo assim, BQ é bissetriz do [tex3]\angle DBC[/tex3]

então temos as relações :

[tex3]\frac{EP}{EB}=\frac{PC}{BC}[/tex3]

como [tex3]EB \frac{\sqrt{2}}{2} = BC \Rightarrow EP\sqrt{2} = QC[/tex3]

[tex3]\frac{DQ}{DB} = \frac{QC}{BC}[/tex3]

porém, [tex3]DB \frac{\sqrt{2}}{2} = BC \Rightarrow DQ = QC \sqrt{2}[/tex3]

então [tex3]DQ = EP\sqrt{2} . \sqrt{2} = 2EP[/tex3]