Pré-Vestibular ⇒ (FGV)- Probabilidade Tópico resolvido

[Reykjavik]

Cada um dos coeficientes de equação [tex3]ax^2+bx+c=0[/tex3] é obtido através do resultado do lançamento de um dado. Qual é a probabilidade de que a equação acima tenha uma raiz dupla?

Resposta:

Resposta

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[tex3]\frac{5}{26}[/tex3]

[jgpret]

Olá!

Para obter uma raíz dupla em uma equação de segundo grau, a equação deve representar um trinômio quadrado perfeito ou (como costumamos ver normalmente) ela deve ter o [tex3]\Delta = 0[/tex3].

Para ficar diferente vou usar o trinomio quadrado perfeito:

Na expressão [tex3]ax^2 + bx + c[/tex3], pelo próprio desenvolvimento do trinômio quadrado perfeito sabemos que o termo central é o dobro do produto das raízes quadradas dos termos nas extremidades. Assim: [tex3]bx = 2 \cdot\sqrt{a}x \cdot\sqrt{c}[/tex3]; portanto [tex3]b=2 \sqrt{ac}[/tex3].

Assim, analisando os casos (para um dado comum):

[tex3]Parte A \rightarrow[/tex3] cálculo da quantidade de resultados no lançamento dos dados ( [tex3]n(E)[/tex3])

Como são três lançamentos: [tex3]n(E) = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216[/tex3]

[tex3]Parte B \rightarrow[/tex3] Análise dos cados específicos para que a igualdade [tex3]b=2 \sqrt{ac}[/tex3] seja satisfeita([tex3]n(A)[/tex3])

[tex3]\begin{array}{|c|c|}
\hline b=2\sqrt{ac} & \sqrt{ac} \\
\hline 1 & \frac{1}{2} \\
\hline 2 & 1 \\
\hline 3 & \frac{3}{2} \\
\hline 4 & 2 \\
\hline 5 & \frac{5}{2} \\
\hline 6 & 3 \\
\hline\end{array}[/tex3]

podemos descartar, assim, as linhas 1, 3 e 5.

Assim,
para que [tex3]\sqrt{ac} = 1 \rightarrow[/tex3]: [tex3]a=1[/tex3] e [tex3]c=1[/tex3]
para que [tex3]\sqrt{ac} = 2 \rightarrow[/tex3]: [tex3]a=1[/tex3] e [tex3]c=4[/tex3] ou [tex3]a=2[/tex3] e [tex3]c=2[/tex3] ou [tex3]a=4[/tex3] e [tex3]c=1[/tex3]
para que [tex3]\sqrt{ac} = 3 \rightarrow[/tex3]: [tex3]a=3[/tex3] e [tex3]c=3[/tex3]

Logo, [tex3]n(A)=5[/tex3]

Calculando a probabilidade:

[tex3]P(A)=\frac{n(A)}{n(E)}=\frac{5}{216}[/tex3]

[Reykjavik]

Valeu pela tentativa, mas realmente a resposta deveria ser [tex3]\frac{5}{26}[/tex3] e não [tex3]\frac{5}{216}[/tex3] pela sua resolução percebi que você considerou apenas [tex3]\Delta=0[/tex3] que é válido apenas para raizes duplas iguais, deve-se considerar raizes diferentes também ([tex3]\Delta>0[/tex3]). A parte do [tex3]6^3[/tex3] acredito que esteje correta pois o resultado mais proximo que consegui foi [tex3]\frac{43}{6^3} = 0.1990 - \frac{5}{26} = 0.1923[/tex3].

[cajuADMIN]

Olá Reykjavik,

Uma equação do segundo grau só possui 2 raízes. Se o enunciado quer que a equação tenha raiz dupla, é direto a conclusão de que está falando raízes iguais.

O seu gabarito está com um pequeno engano de digitação. A resolução do jgpret está correta para o enunciado dado.

Um grande abraço.

[Reykjavik]

Erro no gabarito é fogo. Valeu pela dica e pela resolução.