Ensino Médio ⇒ Semelhância de triângulos e paralelismo Tópico resolvido

[matbatrobin]

Na figura temos que, [tex3]BD=BC,\,AE=AC[/tex3]. Prove que [tex3]DE=EF+DG[/tex3].

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[jgpret]

Boa Noite!

Problema muito legal!

Colecionei algumas soluções falando com algumas pessoas, mas postarei a mais simples e a que mais gosto:

Da figura, temos que: [tex3]DE = AB - AD - BE[/tex3], como [tex3]AD = AB - BC[/tex3] [tex3]BE = AB - AC[/tex3], posso substituir:

[tex3]DE = AB - (AB-BC) - (AB-AC) = AC + BC -AB[/tex3]

Portanto: [tex3]DE = AC + BC -AB[/tex3] (equação [tex3]I[/tex3])

Também da figura, temos, por semelhança de triângulos, que:

[tex3]\Large \frac{AD}{AB} = \frac{DG}{BC}[/tex3]
[tex3]\Large \frac{AB-BC}{AB} = \frac{DG}{BC}[/tex3]
[tex3]\Large 1 - \frac{BC}{AB} = \frac{DG}{BC}[/tex3]

Então: [tex3]\Large DG = BC - \frac{BC^2}{AB}[/tex3] (equação [tex3]II[/tex3])

E, por fim, também por semelhança:

[tex3]\Large \frac{BE}{AB} = \frac{EF}{AC}[/tex3]
[tex3]\Large \frac{AB-AC}{AB} = \frac{EF}{AC}[/tex3]
[tex3]\Large 1 - \frac{AC}{AB} = \frac{EF}{AC}[/tex3]

Logo: [tex3]\Large EF = AC - \frac{AC^2}{AB}[/tex3] (equação [tex3]III[/tex3])

Para complementar, por Pitágoras:

[tex3]AC^2 + BC^2 = AB^2[/tex3] (equação [tex3]IV[/tex3])

Para que a identidade pedida seja verdadeira, temos que (a partir de [tex3]II[/tex3] e [tex3]III[/tex3]):

[tex3]\Large DG + EF = BC - \frac{BC^2}{AB} + AC - \frac{AC^2}{AB}[/tex3]
[tex3]\Large DG + EF = AC + BC - \frac{(AC^2 + BC^2)}{AB}[/tex3] (usando a equação [tex3]IV[/tex3])
[tex3]\Large DG + EF = AC + BC - \frac{AB^2}{AB}[/tex3]

Temos assim: [tex3]\Large DG + EF = AC + BC - AB[/tex3] (equação [tex3]V[/tex3])

Logo, a partir das equações [tex3]I[/tex3] e [tex3]V[/tex3]:

[tex3]\Large DE = DG + EF[/tex3] ([tex3]c.q.d.[/tex3])