Ensino Superior ⇒ Esfera: coordenadas do centro, medida do raio e volume

[Girllie]

Questão 2 Uma esfera é um sólido definido por um conjunto de todos os pontos (x,y,z), de centro C=(x_c, y_c, z_c) e raio r, onde d[(x_c, y_c, z_c),(x,y,z)]=r

Equação padrão de uma esfera é dada por: (x-x_c)^2+(y-y_c)^2+(z-z_c)^2=r²

No projeto desenvolvido pelo engenheiro Nonato, existe uma esfera de equação: x²+y²+z²-4x-2y-6z-35=0

Com o objetivo de determinar a quantidade de materiais necessários para a produção de esfera, apresente:

a) as coordenadas do centro dessa esfera e a medida do seu raio.

b) o volume dessa esfera, sendo V=4/3πr³ a fórmula para esse cálculo. trabalhe com π=3, r o raio da esfera em cm como unidade de medida.

Estou perdidíssima!!

Alguém ajuda? Desde já, obrigada!

[AnthonyC]

a)
Pra descobrir as informações ali, precisa primeiro transformar a equação que você possuí na equação característica da esfera.

[tex3]x^2+y^2+z^2-4x-2y-6z-35=0[/tex3]
Pra isso, vou separar cada variável:
[tex3]x^2-4x+y^2-2y+z^2-6z=35[/tex3]
Agora, vamos completar quadrado pra cada uma das variáveis separadamente:
[tex3]x^2-4x[/tex3]
[tex3]x^2-2\cdot 2\cdot x[/tex3]
Como [tex3](a-b)^2=a^2-2ab+b^2[/tex3], por comparação, devemos ter [tex3]a=x,\space b=2[/tex3]. Então, adicionaremos e subtrairemos [tex3]b^2=2^2=4[/tex3]:
[tex3]x^2-2\cdot 2\cdot x+4-4[/tex3]
[tex3](x-2)^2-4[/tex3]

Analogamente para [tex3]y,z[/tex3]:
[tex3]y^2-2y[/tex3]
[tex3]y^2-2\cdot 1\cdot y[/tex3]
[tex3]y^2-2\cdot 1\cdot y+1-1[/tex3]
[tex3](y-1)^2-1[/tex3]

[tex3]z^2-6y[/tex3]
[tex3]z^2-2\cdot 3\cdot z[/tex3]
[tex3]z^2-2\cdot 3\cdot z+9-9[/tex3]
[tex3](z-3)^2-9[/tex3]

Substituindo esses resultados na equação original:
[tex3]x^2-4x+y^2-2y+z^2-6z=35[/tex3]
[tex3](x-2)^2-4+(y-1)^2-1+(z-3)^2-9=35[/tex3]
[tex3](x-2)^2+(y-1)^2+(z-3)^2=35+4+1+9[/tex3]
[tex3](x-2)^2+(y-1)^2+(z-3)^2=49[/tex3]

Comparando com a equação característica da esfera [tex3](x-x_c)^+(y-y_c)^2+(z-z_c)^2=r^2[/tex3], temos:
[tex3]x_c=2 \\
y_c=1 \\
z_c=3 \\
r^2=49\rightarrow r=7[/tex3]

b)
Dado que o raio é 7, basta substituir e calcular:
[tex3]V=\frac{4}{3}\pi\cdot 7^3[/tex3]
[tex3]V=\frac{4}{3}\cdot3\cdot 343[/tex3]
[tex3]V=1372[/tex3]