IME / ITA ⇒ (Escola Naval 1983) - Trigonometria Tópico resolvido

[mvgcsdf]

É solução do sistema [tex3]\begin{cases}4\sen (x)\, \times\, \sen (y)\,=1\\4\cos (x)\, \times\, \cos (y)\,=3\end{cases}[/tex3]

[tex3]a)\,x=y=k\pi\,\pm \frac{\pi}{3}[/tex3]
[tex3]b)\,x=2k\pi\,e\,y=2k\pi\,\pm \frac{\pi}{3}[/tex3]
[tex3]c)\,x=y=k\pi\,\pm \frac{\pi}{6}[/tex3]
[tex3]d)\,x=y=k\pi\,\pm \frac{\pi}{4}[/tex3]
[tex3]e)\,x=y=k\pi\,\pm \frac{\pi}{8}[/tex3]

[Thales Gheós]

Façamos:

[tex3]\begin{cases}\sen (x)=a\,\rightarrow\,\cos (x)=\sqrt{1-a^2}\\sen(y)=b\,\rightarrow\,\cos (y)=\sqrt{1-b^2}\end{cases}[/tex3]

[tex3]\{4a\, \times\, b\,=1\\4\sqrt{1-a^2}\, \times\, \sqrt{1-b^2}\,=3[/tex3]

elevando a segunda equação ao quadrado e manipulando convenientemente chegamos em: [tex3]a^2b^2-a^2-b^2=-\frac{7}{16}[/tex3]

da primeira equação tiramos [tex3]b=\frac{1}{4a}[/tex3] e substituímos na equação anteriormente obtida:

[tex3]a^2\(\frac{1}{4a}\)^2-a^2-\(\frac{1}{4a}\)^2=-\frac{7}{16} \hspace{30pt}\rightarrow\,-16a^4+8a^2-1=0[/tex3]

uma biquadrada que resolvemos fazendo [tex3]a^2=\phi[/tex3]

[tex3]{}-16\phi^2+8\phi-1=0\hspace{30pt}\rightarrow\begin{cases}\phi=\frac{1}{4}\\a=\frac{1}{2}\\a=-\frac{1}{2}\end{cases}[/tex3]

portanto [tex3]\begin{cases}\sen (x)=\frac{1}{2}\rightarrow\,\sen (y)=-\frac{1}{2}\\sen(x)=-\frac{1}{2}\,\rightarrow\,\sen (y)=\frac{1}{2}\end{cases}[/tex3]

o que nos conduz a alternativa [tex3]c)\,x=y=k\pi\,\pm \frac{\pi}{6}[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá mvgcsdf,

Um segundo enfoque.

Somando as duas equações, temos:

[tex3]4\sin(x)\sin(y)+4\cos(x)\cos(y)=4[/tex3]

[tex3]4\[\sin(x)\sin(y)+\cos(x)\cos(y)\]=4[/tex3]

[tex3]\sin(x)\sin(y)+\cos(x)\cos(y)=1[/tex3]

Do lado esquerdo da equação temos a fórmula do co-seno da subtração dos arcos [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3]:

[tex3]\cos(x-y)=1[/tex3]

[tex3]x-y=2k\pi[/tex3], [tex3]k\in\mathbb{N}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{y=2k\pi+x}[/tex3] (1)

Substituindo o valor de [tex3]x[/tex3] na primeira equação, teremos:

[tex3]4\sin(x)\sin(2k\pi+x)=1[/tex3]

[tex3]4\sin(x)\sin(x)=1[/tex3]

[tex3]\sin^2(x)=\frac 14[/tex3]

[tex3]\sin(x)=\pm\frac 12\,\,\,\Rightarrow\,\,\,x=k\cdot\pi\pm\frac\pi 6[/tex3]

Substituindo este valor em (1) descobrimos que [tex3]x=y=k\cdot\pi\pm\frac\pi 6[/tex3]

[mvgcsdf]

Mestre Caju: eu tinha feito de acordo com sua resolução, ATÉ A METADE. O problema foi na parte final que eu "empaquei".
Excelente resolução. Agora estou sem dúvidas.
Grande Thales:
sua resolução tb está excelente. Nem tinha imaginado por esse caminho.
Parabéns para vocês dois e muito agradecido pela força!!
Abração!!!