Ensino Superior ⇒ Matemática Discreta - Função injetora, bijetora e sobrejetora Tópico resolvido

[Fred91]

Olá tudo bem?

Poderiam me ajudar com a seguinte questão:

Considere a função 𝑓: ℚ → ℚ dada por 𝑓(𝑥) = 3𝑥 +10
Dado 𝑦 ∈ ℤ, obtenha 𝑥 ∈ ℤ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑦.

Infelizmente não achei um valor que possa igualar o valor de x à resolução da função (y)

Desde já, agradeço a atenção!

[deOliveira]

Note que [tex3]f(x)=3x+10=3\underbrace{(x+3)}_{k}+1=3k+1[/tex3]. Com isso temos que dado [tex3]x\in\mathbb Z[/tex3], [tex3]f(x)[/tex3] será um número da forma [tex3]3k+1[/tex3]. Assim, só é possível resolver o exercício se [tex3]y[/tex3] for também da forma [tex3]3k+1[/tex3].

Talvez o exercício esteja errado, e no lugar de [tex3]x\in\mathbb Z[/tex3] seja [tex3]x\in\mathbb Q[/tex3], ou faltou hipótese.
De onde é esse exercício?

Espero ter ajudado .

[Fred91]

O exercício é de uma lista passada pelo meu professor.
Será que teria algum jeito de eu induzir que y chegue ao resultado de 3k+1?

Obrigado pela atenção!

[deOliveira]

Pelo algoritmo da divisão, existem três possibilidades para um número inteiro [tex3]y[/tex3], são elas:
[tex3]y=3k\\y=3k+1\\y=3k+2[/tex3], com [tex3]k\in\mathbb Z[/tex3]. Então, ou [tex3]y[/tex3] é da forma [tex3]3k+1[/tex3] ou não é, não tem como induzir isso nos inteiros.

[AnthonyC]

Como o [tex3]y[/tex3] é dado, melhor isolar o [tex3]x[/tex3]:
[tex3]f(x)=y=3x+10[/tex3]
[tex3]y=3x+10[/tex3]
[tex3]y-10=3x[/tex3]
[tex3]x=\frac{y-10}3[/tex3]
Assim, para que [tex3]x\in\mathbb{Z}[/tex3], precisamos que [tex3]y-10[/tex3] seja múltiplo de 3.
Podemos ter [tex3]y=10,13,16,...[/tex3], ou ainda
[tex3]y=3k+10,k\in\mathbb{Z}\\y=3k+9+1\\ y=3k+1[/tex3]
Assim, dado [tex3]y[/tex3], sendo que [tex3]y=3k+10[/tex3], teremos:
[tex3]x=\frac{y-10}{3}[/tex3]
[tex3]x=\frac{3k+10-10}{3}[/tex3]
[tex3]x=\frac{3k}{3}[/tex3]
[tex3]x=k[/tex3]
Podemos escrever as soluções como um conjunto de pares [tex3](y,x)[/tex3]:
[tex3]\{...,(-2,-4),(1,-3),(4,-2),(7,-1),...\}[/tex3]