Olimpíadas ⇒ Geometria - Pontos Cíclicos Tópico resolvido

[goncalves3718]

Num triângulo [tex3]ABC[/tex3], tomamos pontos [tex3]X, Y[/tex3] sobre os lados [tex3]AB, BC,[/tex3] respectivamente. Se [tex3]AY[/tex3] e [tex3]CX[/tex3] se intersectam em [tex3]Z[/tex3] e [tex3]AY = Y C[/tex3] e [tex3]AB = ZC,[/tex3] mostre que os pontos [tex3]B, X, Z, Y[/tex3] são concíclicos.

[Tassandro]

goncalves3718,
Se provarmos que o [tex3]\square BXZY[/tex3] é cíclico, estamos feitos!

20200623_091519.jpg (34.76 KiB) Exibido 1015 vezes

Completando os ângulos da figura, achamos que [tex3]\angle AZC=\angle XZY=\hat A+\hat B-θ[/tex3]. Se provarmos que [tex3]\hat B+\hat A+\hat B-θ=180°[/tex3], o quadrilátero BXZY será cíclico e seremos felizes!
Como [tex3]\triangle AYC[/tex3] é isóceles de base AC, temos que [tex3]\angle YAC=\hat C[/tex3]. Aplicando a Lei dos senos no [tex3]\triangle ABC[/tex3], temos que
[tex3]\frac{AB}{\sen\hat C}=\frac{AC}{\sen\hat B}[/tex3] (I)
Aplicando a Lei dos Senos no [tex3]\triangle
AZC[/tex3], temos que
[tex3]\frac{ZC}{\sen\hat C}=\frac{AC}{\sen(\hat A+\hat B-θ)}[/tex3] (II)
Divindindo as igualdades I e II (lembrando que [tex3]AB=ZC[/tex3]), vem que
[tex3]\sen\hat B=\sen(\hat A+\hat B-θ)[/tex3]
Assim, ou [tex3]\hat B=\hat A+\hat B-θ\implies \hat A=θ[/tex3] (deixo para você perceber que isso é um absurdo(dica: o ângulo A é maior que o ângulo C)) ou [tex3]\hat A+\hat B-θ+\hat B=180°\implies\square BXZY\text{ é cíclico!}[/tex3].
Assim, B, X, Z e Y estão em uma mesma circunferência.