Olimpíadas ⇒ ibero

[kenner]

(Ibero 1998) Encontre o menor natural n com a propriedade de que entre
quaisquer n n´umeros distintos do conjunto {1, 2, 3, . . . , 999} podemos encontrar quatro
n´umeros distintos a, b, c, d tais que a + 2b + 3c = d.

[Tassandro]

kenner,
A resposta é n=635. Para [tex3]n=634[/tex3], você pode pegar o subconjunto [tex3]\{166, 167, 168, \cdots, 999 \}[/tex3] e, assim, [tex3]a + 2b + 3c \geq 168 + 2 \cdot167 + 3 \cdot166 = 1000> 999[/tex3], então a equação nunca é válida. Sempre que você tiver dois números x, y menores que 168 em seu conjunto, se tentarmos adicionar outro número z<168, será necessário excluir pelo menos dois outros números do conjunto. Para ver o motivo, renomeie x, y, z como a, b, c de modo que a <b <c <168. Então [tex3]a + 2c + 3b < a + 2b + 3c \leq 165 + 2 \cdot166 + 3 \cdot167 = 998[/tex3] e, portanto, teríamos que excluir a + 2c + 3b e a + 2b + 3c. Portanto, n = 635 é o menor n natural com a propriedade pedida.