IME / ITA ⇒ (AFA - 1994) Trigonometria Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Indique os valores de [tex3]x[/tex3] que satisfazem a equação [tex3]sen3x-sen2x+senx=0[/tex3].

a) [tex3]k\pi[/tex3] ou [tex3]2k\pi+\frac{\pi}{2}[/tex3], [tex3]k \in \mathbb{Z}[/tex3].
b) [tex3]\frac{k\pi}{2}[/tex3] ou [tex3]k\pi \pm \frac{\pi}{4}[/tex3], [tex3]k \in \mathbb{Z}[/tex3].
c) [tex3]\frac{k\pi}{2}[/tex3] ou [tex3]2k\pi \pm \frac{\pi}{3}[/tex3], [tex3]k \in \mathbb{Z}[/tex3].
d) [tex3]k\pi[/tex3] ou [tex3]2k\pi \pm \pi[/tex3], [tex3]k \in \mathbb{Z}[/tex3].

Resposta

---

c

[cajuADMIN]

Olá Aldrin,

Utilizamos, primeiramente a fórmula (2) da prostaférese nas duas primeiras parcelas da equação e a fórmula do seno do arco duplo na terceira parcela:

[tex3]\sin(3x)-\sin(2x)+\sin(x)=0[/tex3]

[tex3]2\cos\(\frac{5x}{2}\)\sin\(\frac x2\)+2\sin\(\frac x2\)\cos\(\frac x2\)=0[/tex3]

Colocamos o [tex3]2\sin\(\frac x2\)[/tex3] em evidência:

[tex3]2\sin\(\frac x2\)\cdot\[\cos\(\frac{5x}{2}\)+\cos\(\frac x2\)\]=0[/tex3]

Agora aplicamos a fórmula (3) da prostaférese nas parcelas dentro dos parênteses:

[tex3]2\sin\(\frac x2\)\cdot\[2\cos\(\frac{3x}{2}\)\cdot\cos\(x\)\]=0[/tex3]

Agora temos um produto de três fatores resultando ZERO. Isto irá ocorrer quando qualquer uma dos três resultarem ZERO:

[tex3]4\sin\(\frac x2\)\cdot\cos\(\frac{3x}{2}\)\cdot\cos\(x\)=0[/tex3]

[tex3]4\sin\(\frac x2\)=0\,\,\Rightarrow\,\,\frac x2=k\cdot \pi\,\,\boxed{x=2k\pi}[/tex3]

[tex3]\cos\(\frac{3x}{2}\)=0\,\,\,\Rightarrow\,\,\, \frac{3x}{2}=\frac{\pi}{2}+k\pi\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{\frac{\pi}{3}+\frac{2k\pi}{3}}[/tex3]

[tex3]\cos\(x\)=0\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{x=\frac{\pi}{2}+k\pi}[/tex3]

Agora, fazendo a união destas três respostas, chegamos na alternativa C.

Para fazer a resposta final, acho interessante desenhar o círculo trigonométrico e marcar com um ponto todas as respostas e, então, ver qual das alternativas bate com o desenho. Para esta resposta o desenho ficaria assim:

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