Ensino Médio ⇒ Função definida por duas leis Tópico resolvido

[rakgarcia]

Se A é o conjunto dos números reais diferentes de [tex3]1[/tex3], seja [tex3]f: A\rightarrow A[/tex3] dada por [tex3]f(x)=\frac{x+1}{x-1}[/tex3]. Para um inteiro positivo [tex3]n[/tex3], [tex3]f^n(x)[/tex3] é definida por:

[tex3]f^n (x) = \{f(x)\text{, se } n=1\\ f(f^{n-1}(x))\text{, se }n>1[/tex3]

Então, [tex3]f^5(x)[/tex3] é igual a:

Resposta

---

[tex3]\frac{x+1}{x-1}[/tex3]

[triplebig]

(1) Sabemos que [tex3]f^n(x)=f(f^{n-1}(x))=f(f(f^{n-2}(x)))=\overbrace{f(f(f(f(\dots f}^{\text{n vezes}}(x)))[/tex3]

(2) Vamos inicialmente calcular [tex3]f^2(x)[/tex3]

[tex3]f^2(x)=f(f(x))=\frac{f(x)+1}{f(x)-1}=\frac{\frac{x+1}{x-1}+1}{\frac{x+1}{x-1}-1}=\frac{2x}{2}=x[/tex3]

(3) Podemos reescrever [tex3]f^{5}(x)[/tex3] como [tex3]f(f^2(f^2(x)))[/tex3] . Usando o item (2) Podemos transformar:

[tex3]f(f^2(f^2(x)))=f(f^2(x))=f(x)[/tex3] . E pelo anunciado, [tex3]f(x)=\frac{x+1}{x-1}[/tex3]

[rakgarcia]

na segunda parte (2) pq vc passou dividindo [tex3]\frac{f(x)+1}{f(x)-1}[/tex3]?

[triplebig]

Para todo valor de [tex3]x[/tex3] , [tex3]f(x)=\frac{x+1}{x-1}[/tex3]

[tex3]f(\text{qualquer coisa})=\frac{\text{qualquer coisa}+1}{\text{qualquer coisa}-1}[/tex3]

Como no item 2 o "qualquer coisa" é [tex3]f(x)[/tex3], então [tex3]f(f(x))=\frac{f(x)+1}{f(x)-1}[/tex3]

Conseguiu visualizar?

[rakgarcia]

to perguntando pq o f(x) passou dividindo... e se fosse f(f(f(x)))

[triplebig]

Aonde que viu o [tex3]f(x)[/tex3] passar dividindo?

Se fosse [tex3]f(f(f(x)))[/tex3] o resultado seria o mesmo, seguindo minha solução você enxerga porque?

[rakgarcia]

no item (2), f(x)= [tex3]\frac{f(x)+1}{f(x)-1}[/tex3]

[triplebig]

O que que passou dividindo? Seja mais específico porfavor.

E o ítem dois é:

[tex3]f(f(x))=\frac{f(x)+1}{f(x)-1}[/tex3]

E não [tex3]f(x)[/tex3].