Ensino Superior ⇒ Sistemas de Coordenadas Retangulares, Cilíndricas e Esféricas Tópico resolvido

[xaulinporco]

Seja o ponto P. Sabendo que o mesmo possui as seguintes coordenadas:

- no sistema de coordenadas retangulares (cartesianas): z = 5.
- no sistema de coordenadas cilíndricas: θ = 288,44º
- no sistema de coordenadas esféricas: ρ = √ 35

Encontre as coordenadas que faltam nos sistemas de coordenadas retangulares, cilíndricas e
esféricas e represente graficamente o ponto P, indicando no mesmo gráfico (um único gráfico) as
coordenadas nos três sistemas.

[baltuilhe]

Boa tarde!

Tendo [tex3]\rho[/tex3] e z podemos encontrar o parâmetro [tex3]\varphi[/tex3], que é o ângulo com o eixo z
[tex3]\cos\varphi=\dfrac{z}{\rho}=\dfrac{5}{\sqrt{35}}\Rightarrow\varphi\approx 32,31^{\circ}[/tex3]

Então:
Coordenadas esféricas:
[tex3]\begin{cases}\begin{array}{lr}\rho=&\sqrt{35}\\\theta\approx&288,44^{\circ}\\\varphi\approx&32,31^{\circ}\end{array}\end{cases}[/tex3]

Agora, para as coordenadas cilíndricas, precisamos calcular o [tex3]r[/tex3]:
[tex3]\rho^2=z^2+r^2\\\left(\sqrt{35}\right)^2=5^2+r^2\\r^2=35-25=10\\r=\sqrt{10}[/tex3]

Coordenadas cilíndricas:
[tex3]\begin{cases}\begin{array}{lr}r=&\sqrt{10}\\\theta\approx&288,44^{\circ}\\z=&5\end{array}\end{cases}[/tex3]

Agora, para as coordenadas retangulares:
[tex3]x=r\cos\theta=\sqrt{10}\cos 288,44^{\circ}\approx 1\\y=r\sin\theta=\sqrt{10}\sin 288,44^{\circ}\approx -3[/tex3]

Então:
[tex3]\begin{cases}\begin{array}{lr}x=&1\\y=&-3\\z=&5\end{array}\end{cases}[/tex3]

Espero ter ajudado!