IME / ITA ⇒ geometria plana-(Apostila do Farias Brito) Tópico resolvido

[golondrina]

O triangulo ABC é isósceles com AB=AC.Suponha que a bissetriz do angulo B encontra AC em D e que BC=BD+AD. Determine o angulo A.

Resposta

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100 graus

[undefinied3]

Poderia rever essa igualdade dos lados? Não me parece estar correta essa relação.

[Auto Excluído (ID:24862)]

Como o @undefinied3 disse.

Chamando o lado BC de [tex3]a[/tex3], BD de [tex3]b[/tex3] e DA de [tex3]c[/tex3].
Tem-se pelo enunciado que [tex3]a=b+c[/tex3].

Pelo teorema da bissetriz interna:

[tex3]\frac{a}{b}=\frac{a}{c}[/tex3]

Então,

[tex3]b=c[/tex3]

Mas se CD é a bissetriz e também a mediana, logo o triângulo é isóceles ou equilátero. Sendo AB = AC o triângulo é equilátero.

Resposta 60 graus.

[golondrina]

foi mal glr acabei digitando o gabarito errado, realmente 30 graus gera um absurdo matematico no final. nem me toquei,foi mal. mas o enunciado da questão é esse mesmo. já ajeitei o gabarito.

[golondrina]

Como o @undefinied3 disse.

Chamando o lado BC de [tex3]a[/tex3], BD de [tex3]b[/tex3] e DA de [tex3]c[/tex3].
Tem-se pelo enunciado que [tex3]a=b+c[/tex3].

Pelo teorema da bissetriz interna:

[tex3]\frac{a}{b}=\frac{a}{c}[/tex3]

Então,

[tex3]b=c[/tex3]

Mas se CD é a bissetriz e também a mediana, logo o triângulo é isóceles ou equilátero. Sendo AB = AC o triângulo é equilátero.

Resposta 60 graus.

acho que voce se confundiu men, o triangulo é isósceles em AB e AC, a base BC é diferente do lado AB, não tem como chegar a essa igualdade com o teorema da bissetriz interna.

[Tassandro]

golondrina,
Seja E em BC tal que BE=BD. Assim, é fácil ver que o [tex3]\triangle BDE[/tex3] é isóceles e [tex3]CE=AD[/tex3]. Pelo Teorema da Bissetriz interna e pelas igualdades que acabamos de achar
[tex3]\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{CB}=\frac{CA}{CB}=\frac{CE}{CD}[/tex3]
Assim, temos que [tex3]\triangle ABC\sim\triangle DEC\text{ (LA)}[/tex3], assim, DEC é isóceles de base CD, assim, [tex3]\angle CDE=\angle DCE=\angle BCA=2x\implies\angle BED=\angle BDE=4x[/tex3]
No triângulo BDE, temos que
[tex3]180°=x+4x+4x\implies x=20°[/tex3]
O ângulo A mede [tex3]180°-4x=100°[/tex3]

[lamacch]

Belíssima solução, Tassandro!!!

[golondrina]

muito elegante sua solução @Tassandro , mt obrigadooo men

[Tassandro]

De nada! As questões que você posta são sempre interessantes, @golondrina! Eu o agradeço!