Pré-Vestibular ⇒ (UNIFESP - 2007) Valor Máximo de uma Função e Arco Duplo Tópico resolvido

[PiRaNGuErOoO]

Sabe-se que, se [tex3]b>1,[/tex3] o valor máximo da expressão [tex3]y-y^b,[/tex3] para [tex3]y[/tex3] no conjunto [tex3]\mathbb{R}[/tex3] dos números reais, ocorre quando [tex3]y\,=\,\left(\frac{1}{b}\right)^{\frac{1}{b-1}}.[/tex3]
O valor máximo que a função [tex3]f(x)\,=\,\text{sen}\, x\,\cdot\,\text{sen}\, (2x)[/tex3] assume, para [tex3]x[/tex3] variando em [tex3]\mathbb{R},[/tex3] é:

a) [tex3]\frac{\sqrt{3}}{3}.[/tex3]
b) [tex3]2\frac{\sqrt 3}{3}.[/tex3]
c) [tex3]\frac{3}{4}.[/tex3]
d) [tex3]\frac{4\sqrt{3}}{9}.[/tex3]
e) [tex3]1.[/tex3]

Solução:

---

• [tex3]f(x)= \text{sen}x \cdot 2\text{sen}x \cdot cos x\\
  f(x)=2 cos x\cdot (1- cos^2x)\\
  f(x)=2 cos x-2 cos^3x\\
  f(x)=2(y-y^3)[/tex3]

onde [tex3]f(x)[/tex3] assume o valor máximo quando [tex3]y-y^3[/tex3] for máximo. Então:

• [tex3]y=\(\frac{1}{3}\)^{\frac{1}{2}}\\
  y=\sqrt{\frac{1}{3}}\\
  y=\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex3]

Substituindo o [tex3]y[/tex3] na função [tex3]f(x)[/tex3] irá ficar assim:

• [tex3]f_{\text{m\acute{a}x}} = 2\cdot \[\frac{\sqrt{3}}{3} - \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)^3\] = \frac{4 \sqrt{3}}{9}.[/tex3]

[AnthonyC]

Sabe-se que, se [tex3]b>1[/tex3], o valor máximo da expressão [tex3]y-y^b[/tex3], para [tex3]y [/tex3] no conjunto [tex3]\mathbb{R} [/tex3] dos números reais, ocorre quando [tex3]y=\left(\frac{1} {b}\right)^{\frac{1}{b-1}}[/tex3]. O valor máximo que a função [tex3]f(x)=\sen(x)\cdot\sen(2x)[/tex3] assume, para [tex3]x[/tex3] variando em [tex3]\mathbb{R}[/tex3], é:

a) [tex3]\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex3].
b) [tex3]2\frac{\sqrt 3}{3}[/tex3].
c) [tex3]\frac{3}{4}[/tex3].
d) [tex3]\frac{4\sqrt{3}}{9}[/tex3].
e) [tex3]1[/tex3].

[AnthonyC]

[tex3]f(x)=\sen(x)\sen(2x)[/tex3]
[tex3]f(x)=\sen(x)\cdot2\sen(x)\cos(x)[/tex3]
[tex3]f(x)=2\sen^2(x)\cos(x)[/tex3]
[tex3]f(x)=2(1-\cos^2(x))\cos(x)[/tex3]
[tex3]f(x)=2(\cos(x)-\cos^3(x))[/tex3]
Fazendo [tex3]y=\cos(x)[/tex3]:
[tex3]f(x)=2(y-y^3)[/tex3]
Como dito pelo enunciado, o valor máximo dessa função ocorre quando [tex3]y=\left(\frac{1} {b}\right)^{\frac{1}{b-1}}[/tex3], sendo nesse caso [tex3]b=3[/tex3], temos:
[tex3]y=\left(\frac{1} {b}\right)^{\frac{1}{b-1}}[/tex3]
[tex3]y=\left(\frac{1} {3}\right)^{\frac{1}{3-1}}[/tex3]
[tex3]y=\left(\frac{1} {3}\right)^{\frac{1}{2}}[/tex3]
[tex3]y=\frac{1} {\sqrt3}[/tex3]

Então:
[tex3]f(x)=2(y-y^3)[/tex3]
[tex3]f(x)=2\left(\frac{1} {\sqrt3}-\left(\frac{1} {\sqrt3}\right)^3\right)[/tex3]
[tex3]f(x)=2\left(\frac{1} {\sqrt3}-\frac{1} {3\sqrt3}\right)[/tex3]
[tex3]f(x)=2\left(\frac{3} {3\sqrt3}-\frac{1} {3\sqrt3}\right)[/tex3]
[tex3]f(x)=\frac{4} {3\sqrt3}[/tex3]
[tex3]f(x)=\frac{4\sqrt3} {9}[/tex3], opção (d)