Pré-Vestibular ⇒ (UNIFOR - 2006) Binômio de Newton Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Se o termo médio do desenvolvimento do binômio [tex3](4x+ky)^{10}[/tex3] é [tex3]8064x^5y^5[/tex3], então [tex3]k[/tex3] é igual a

(A) [tex3]\frac{1}{4}[/tex3].
(B) [tex3]\frac{1}{2}[/tex3].
(C) [tex3]1[/tex3].
(D) [tex3]2[/tex3].
(E) [tex3]4[/tex3].

[triplebig]

O polinômio terá [tex3]11[/tex3] termos. O termo médio será o sexto termo. Com a fórmula do termo médio:

[tex3]T_{n+1}={10\choose n}\cdot a^n\cdot b^{10-n}\Longrightarrow[/tex3]
[tex3]\begin{array}{rl} T_6=&{10\choose5}\cdot4^5\cdot x^5\cdot k^5\cdot y^5\\=&3^2\cdot2^2\cdot7\cdot4^5\cdot x^5\cdot k^5\cdot y^5\end{array}[/tex3]

Com isso, igualando:

[tex3]\cancel{3^2}\cdot2^{12}\cdot\cancel{7}\cdot k^5\cdot \cancel{x^5}\cdot \cancel{y^5}=2^7\cdot\cancel{3^2}\cdot\cancel{7}\cdot \cancel{x^5}\cdot\cancel{y^5}[/tex3]
[tex3]\therefore k=\frac{1}{2}[/tex3]