IME / ITA ⇒ (Lista IME) Determinante

[Agash]

Seja [tex3]A[/tex3] uma matriz de entradas
[tex3]a_{ij}=a^{|i-j|}[/tex3]
Calcule o determinante da matriz [tex3]A_{n x n}[/tex3].

Ex... 5x5 (Fiz só para ajudar no Latex)
[tex3]\begin{vmatrix} 1 & a & a^2 & a^3 & a^4 \\ a & 1 & a& a^2 & a^3\\ a^2 & a & 1 & a & a^2\\ a^3 & a^2 & a & 1 & a\\ a^4 & a^3 & a^2 & a & 1 \end{vmatrix}[/tex3]

Desde já, muito obrigado!

[Radius]

Alguns progressos nesse problema:

[tex3]\begin{vmatrix} 1 & a & a^2 & a^3 & a^4 \\ a & 1 & a& a^2 & a^3\\ a^2 & a & 1 & a & a^2\\ a^3 & a^2 & a & 1 & a\\ a^4 & a^3 & a^2 & a & 1 \end{vmatrix}[/tex3]

por Chió:

[tex3]= \begin{vmatrix} 1-a^2 & a(1-a^2) & a^2(1-a^2) & a^3(1-a^2) \\ a(1-a^2) & 1-a^4 & a(1-a^4) & a^2(1-a^4) \\ a^2(1-a^2) & a(1-a^4) & 1-a^6 & a(1-a^6) \\ a^3(1-a^2) & a^2(1-a^4) & a(1-a^6) & 1-a^8 \end{vmatrix}[/tex3]

[tex3]=(1-a^2) \cdot \begin{vmatrix} 1 & a(1-a^2) & a^2(1-a^2) & a^3(1-a^2) \\ a & 1-a^4 & a(1-a^4) & a^2(1-a^4) \\ a^2 & a(1-a^4) & 1-a^6 & a(1-a^6) \\ a^3 & a^2(1-a^4) & a(1-a^6) & 1-a^8 \end{vmatrix}[/tex3]

aqui daria para fazer por Chió novamente, mas não acho que seja uma boa idéia...

[Tassandro]

Agash,

Achei aqui que o det dessa maravilha vai ser sempre
[tex3][(1+a)(1-a)]^{n-1}[/tex3], só vou tentar formalizar mais aqui, vai dar um trabalhão legal digitar esses dets

[Tassandro]

Solução:
Eu vou digitar numa matriz 5×5, como você deu, mas finge que é para n×n (afinal, o raciocínio é análogo)
Pagando a matriz que você deu e fazendo as seguintes operações (nessa ordem):
Linha 1 - Linha 2
Linha 2 - Linha 3
Linha 3 - Linha 4
Pelo Teorema de Jacobi, o determinante não se alterou, logo, temos que ele equivale a
[tex3]\begin{vmatrix} 1-a & a-1 & a(a-1) & a^2(a-1) & a^3(a-1) \\ a(1-a) & 1-a & a-1 & a(a-1) & a^2(a-1)\\ a^2(a-1) & a(1-a) & 1-a & a-1 & a(a-1)\\ a^3(1-a) & a^2(1-a) & a(1-a) & 1-a & a-1\\ a^4 & a^3 & a^2 & a & 1 \end{vmatrix}[/tex3]
Colocando o [tex3](1-a)[/tex3] em evidência, temos que ele equivale a
[tex3](1-a)^4\begin{vmatrix} 1 & -1 & -a & -a^2 & -a^3 \\ a & 1 & -1 & -a & -a^2\\ a^2 & a & 1 & -1 & -a\\ a^3 & a^2 & a & 1 & -1\\ a^4 & a^3 & a^2 & a & 1 \end{vmatrix}[/tex3]
Cara, isso é lindo. Vamos agora as seguintes operações:
Somar a coluna 2 multiplicada por [tex3](-a)[/tex3] à coluna 1
Somar a coluna 3 multiplicada por [tex3](-a)[/tex3] à coluna 2
Somar a coluna 4 multiplicada por [tex3](-a)[/tex3] à coluna 3
Vamos obter o novo det (igual ao anterior) dado por (vou colocar um X nos lugares que não faz diferença o que vai aparecer)
[tex3](1-a)^4\begin{vmatrix} 1+a & X & X & X & X \\ 0 & 1+a & X & X & X\\ 0 & 0 & 1+a & X & X\\ 0 & 0 & 0 & 1+a & X\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}[/tex3]
Temos uma matriz triangular!!!!!!!!
Logo, basta fazer o produto dos elementos da diagonal principal, assim, esse det vale
[tex3][(1+a)(1-a)]^4[/tex3].
Para uma matriz n×n, o raciocínio é análogo!