IME / ITA ⇒ (IME 1977/1978 / Desafio) Geometria Espacial Tópico resolvido

[Agash]

IME 1977/1978

Dá-se um icosaedro [tex3]\(I\)[/tex3] regular convexo de aresta [tex3]l[/tex3].

a) Calcular o ângulo diedro [tex3]\hat{d}[/tex3] de [tex3]I[/tex3].(Apresentar uma expressão trigonométrica, númerica, que permita calcular o valor do ângulo diedro [tex3]\hat{d}[/tex3]).

b) Seja [tex3]V[/tex3] um vértice de ([tex3]I[/tex3]): [tex3]V[/tex3] e os vertices de ([tex3]I[/tex3]) adjacentes ( isto é, os que são ligados a [tex3]V[/tex3] por aresta e ([tex3]I[/tex3])), determinam um poliedro ([tex3]P[/tex3]) cujas arestas são arestas do icosaedro.Calcular o volume de([tex3]P[/tex3]) em função de [tex3]l[/tex3].

Resposta

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a) [tex3]cos( \hat{d}) = - \frac{\sqrt{5}}{3}[/tex3] , b) [tex3]\frac{5+\sqrt{5}}{24}l^3[/tex3]

Obs: Não entendi uma solução que tinha no livro das provas ime....
Sempre que pego uma questão de ângulo diedro relacionado com poliedro regular convexo não consigo resolver.... Se alquem souber um link bom, arquivo, etc... Agradeço

Desde já, muito obrigado!

[Tassandro]

Agash,
O ângulo diedro é a medida da secção reta que pode ser
construída tomando-se duas semirretas, cada uma em cada semiplano, com origens
comuns e perpendiculares à origem do diedro (reta que é a intersecção dos semiplanos
que formam os diedros).
Como as faces são triângulos equiláteros congruentes, então, o ponto médio de
uma aresta é ponto médio do lado comum dos dois triângulos equiláteros que formam
essas faces adjacentes. Assim, as medianas relativas a essa aresta lhes são
perpendiculares. Logo, essas duas alturas formam uma secção reta.
Sejam AEV e DEV faces adjacentes de I. Note que AD=d pode ser visto como a diagonal menor de um pentágono de lado [tex3]\ell[/tex3], o que é conhecido que vale [tex3]\(\frac{1+\sqrt5}2\)\ell[/tex3]. Agora, seja P a projeção de A e de D sobre EV. Note que [tex3]AP=PD=\frac{\sqrt3}2\ell[/tex3]. Seja [tex3]α[/tex3] o ângulo diedro. Logo, pela Lei dos cossenos,
[tex3]AD^2=AP^2+PD^2-2\cdot AP\cdot PD\cosα\implies\\
\(\frac{1+\sqrt5}2\)\ell^2=2\cdot\(\frac{\sqrt3}2\)^2\ell^2\(1-\cos\)\implies\cosα=-\frac{\sqrt5}3[/tex3]
Vou pensar mais para esse item b

O poliedro formado vai ser uma pirâmide regular base pentagonal. Basicamente, temos que calular a área da base e a sua altura. A área da base equivale à área de um pentágono regular de lado [tex3]\ell[/tex3], então basta calcularmos o apótema desse pentágono em função do lado. Dá para fazer isso usando [tex3]\tg36°[/tex3], o que é conhecido. Depois, faz Pitágoras para achar a altura dessa pirâmide. Depois é só fazer
[tex3]V=\frac{SH}3=5\cdot\frac{\ell a}2\cdot\sqrt{\ell^2+a^2}\cdot\frac13[/tex3]
Fazendo as contas, obtemos
[tex3]V=\frac{5+\sqrt5}{24}\ell^3[/tex3]