Ensino Fundamental ⇒ Diagonais de um quadrilátero Tópico resolvido

[japerito]

Um quadrilátero convexo Q te diagonais respectivamente iguais a 4 e 6. Assinale dentre as opções a única possível para o perímetro de Q

A) 10

B) 15

C) 20

D)25

E) 30

[Auto Excluído (ID: 24633)]

Letra B)

Considere o quadrilátero [tex3]ABCD[/tex3] meramente representativo.

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Suponha que [tex3]AC=6[/tex3] e [tex3]BD=4[/tex3]. Pela desigualdade triangular aplicada nos triângulos [tex3]AOB[/tex3], [tex3]BOC[/tex3], [tex3]COD[/tex3] e [tex3]AOD[/tex3] obtemos respectivamente
[tex3]AB< OA+OB[/tex3]
[tex3]BC< OB+OC[/tex3]
[tex3]CD<OC+OD[/tex3]
[tex3]AD< OA+OD[/tex3]
somando tudo obtemos [tex3]AB+BC+CD+AD<2(OA+OC+OB+OD)=2(AC+BD)=2(6+4)=20[/tex3] ou seja o perímetro do quadrilátero é menor que [tex3]20[/tex3].
Agora aplicanda a desigualdade triangular nos triângulos [tex3]ABC[/tex3] e [tex3]ADC[/tex3] obtemos respectivamente
[tex3]AB+BC>AC=6[/tex3]
[tex3]AD+DC> AC=6[/tex3]
somando obtemos [tex3]AB+BC+DC+AD>12[/tex3] ou seja o perímetro do quadrilátero deve ser menor que [tex3]12[/tex3].
Nota-se que a única alternativa que satisfaz estas desigualdades é a B)