IME / ITA ⇒ (EFOMN-2017)Circuferência Tópico resolvido

[ASPIRADEDEU]

Sejam as circunferências C1 : x2 + y2 – 16 = 0 e C2 : (x-2)2 + (y+2)2 = 4. Considere A e B os pontos de intersecção dessas circunferências. Determine a distância entre A e B.

a) 2√7
b)√14
c) 2√14
d) √7
e) √7 /2

Resposta

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GAB:B,por favor resolução com imagem

[Auto Excluído (ID: 24633)]

Não sei no que a figura vai ajudar mas...

MSP958238c9g9476fa04c0000036645d0ce39ge222.gif.png (71.33 KiB) Exibido 3610 vezes

As coordenadas de A e B devem satisfazer ambas as expressões, ou seja devem ser soluções do sistema
[tex3]\begin{cases}x^2+y^2-16=0 \\ (x-2)^2+(y+2)^2=4\end{cases}[/tex3]
desenvolvendo a segunda expressão
[tex3]\begin{cases}x^2+y^2-16=0 \\ (x^2-4x+4)+(y^2+4y+4)=4\end{cases}[/tex3]
rearranjando de um jeito conveniente
[tex3]\begin{cases}x^2+y^2=16 \\ x^2+y^2=4x-4y-4\end{cases}[/tex3]
Assim [tex3]4x-4y-4=16 \Rightarrow x-y=5[/tex3] ou seja [tex3]x=y+5[/tex3]. Substituindo na primeira expressão vem

[tex3](y+5)^2+y^2=16[/tex3] ou seja [tex3](y^2+10y+25)+y^2=16[/tex3] e [tex3]2y^2+10y+9=0[/tex3]

Resolvendo esta equação do 2° grau em [tex3]y[/tex3] temos [tex3]y=\dfrac{-5+\sqrt{7}}{2}[/tex3] ou [tex3]y=\dfrac{-5-\sqrt{7}}4[/tex3]. Assim as soluções do sistema são [tex3]x=5+\dfrac{-5+\sqrt{7}}2=\dfrac{5+\sqrt{7}}2[/tex3] e [tex3]y=\dfrac{-5+\sqrt{7}}4[/tex3] ou [tex3]x=5+\dfrac{-5-\sqrt{7}}2=\dfrac{5-\sqrt{7}}2[/tex3] e [tex3]y=\dfrac{-5-\sqrt{7}}4[/tex3]

Então as coordenadas cartesianas de A e B são, não necessariamente nesta ordem, [tex3]\left(\dfrac{5+\sqrt{7}}2; \dfrac{-5+\sqrt{7}}2 \right)[/tex3] e [tex3]\left(\dfrac{5-\sqrt{7}}2; \dfrac{-5-\sqrt{7}}2 \right)[/tex3]
E o quadrado da distância de A a B é

[tex3]\left(\dfrac{5+\sqrt{7}}2-\dfrac{5-\sqrt{7}}2 \right)^2+\left(\dfrac{-5+\sqrt{7}}2-\dfrac{-5-\sqrt{7}}2 \right)^2=\left(\dfrac{2\sqrt{7}}{2} \right)^2+\left(\dfrac{2\sqrt{7}}{2} \right)^2=2\left(\sqrt{7} \right)^2=2\cdot 7=14[/tex3]

Portanto a distância entre A e B é de [tex3]\sqrt{14}[/tex3]

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[user]pedro1729[/user] Perfect