IME / ITA ⇒ (IME 1965) Geometria Espacial Tópico resolvido

[paulo92]

Em um trapézio isósceles de área [tex3]A_1= 5\, cm^2[/tex3] está inscrito um círculo de área [tex3]A_2= \pi \,cm^2[/tex3]. Um sólido de revolução é gerado pela rotação do trapézio em torno de um eixo perpendicular às suas bases, contido no plano da figura, e afastado do vértice, mas próximo de uma distância igual ao comprimento da base maior. Calcular a área total e o volume deste sólido de revolução.

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Alguém?
Tentei fazer por Pappus-Guldin mas não consegui achar o valor de B - b

[AnthonyC]

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Primeiro vou provar que [tex3]M[/tex3] é ponto médio de [tex3]\overline{CD}[/tex3] e [tex3]N[/tex3] é ponto médio de [tex3]\overline{AB}[/tex3].
Traçando duas perpendiculares à [tex3]\overline{CD}[/tex3], uma passando por [tex3]A[/tex3] e outra passando por [tex3]B[/tex3]:

IME 65 Trapézio Inscrito com ângulo e perp.png (35.4 KiB) Exibido 1110 vezes

Podemos ver que [tex3]\overline{AE}=\overline{BF}[/tex3].
Dado que [tex3]\Delta ADE[/tex3] é retângulo, com [tex3]\overline{AD}[/tex3] sendo a hipotenusa, então o seno de [tex3]\alpha [/tex3] é dado por: [tex3]\sen(\alpha)={\overline{AE}\over\overline{AD}}[/tex3].
Dado que [tex3]\Delta BCF[/tex3] é retângulo, com [tex3]\overline{BC}[/tex3] sendo a hipotenusa, então o seno de [tex3]\beta [/tex3] é dado por: [tex3]\sen(\beta)={\overline{BF}\over\overline{BC}}[/tex3].
Como [tex3]\overline{AE}=\overline{BF}[/tex3] e, segundo o enunciado, [tex3]\overline{AD}=\overline{BC}[/tex3], então:
[tex3]\sen(\alpha)={\overline{AE}\over\overline{AD}}={\overline{BF}\over\overline{BC}}=\sen(\beta)[/tex3]. Para [tex3]0<\alpha,\beta \lt {\pi\over2}[/tex3], devemos ter [tex3]\alpha=\beta[/tex3].

Estendendo as retas [tex3]\overline{AD},\overline{BC}[/tex3] e [tex3]\overline{MN}[/tex3], temos o triângulo a seguir:

IME 65 Trapézio Inscrito extendido.png (41.08 KiB) Exibido 1110 vezes

Como os ângulos [tex3]G\hat{A}N[/tex3] e [tex3]G\hat{B}N[/tex3] são ângulos colaterais de parallelas cortadas por uma tranversal, então ambos valem [tex3]\alpha [/tex3]. Assim, o triângulo [tex3]\Delta ABG [/tex3] é isósceles.
O ângulo [tex3]G\hat{N}B[/tex3] é suplementar do ângulo [tex3]B\hat{N}M[/tex3], ou seja, [tex3]90^\circ[/tex3]. Portanto o segmento [tex3]GN[/tex3] é altura de [tex3]\Delta ABG [/tex3] em relação a base. E sabemos que a altura em relação à base de um isósceles é também mediana. Portanto, [tex3]N[/tex3] é ponto médio de [tex3]\overline{AB}[/tex3].

Fazendo a mesma análise para o triângulo [tex3]\Delta CDG[/tex3], veremos que [tex3]M[/tex3] é ponto médio de [tex3]\overline{CD}[/tex3].

C.Q.D

[AnthonyC]

e afastado do vértice, mas próximo de uma distância igual ao comprimento da base maior.

Confesso que não entendi essa parte; ele quis dizer um eixo que está a uma distância igual o comprimento da base maior do vértice, mas qual vértice? Da base maior ou menor? Pelo que vi num PDF, é considerando a base maior, então farei por ela.

IME 65 Trapézio Inscrito.png (33.32 KiB) Exibido 1088 vezes

A informação do círculo inscrito nos permite achar as medidas das bases do trapézio:

Vou chamar a base maior [tex3]\overline{CD}=\Omega [/tex3] e a base menor [tex3]\overline{AB}=\omega[/tex3].
Como dito no enunciado, [tex3]\overline{AD}=\overline{BC}[/tex3].
Sabemos também que a área do círculo é [tex3]\pi \text{ cm}^2[/tex3]. Como a área de um círculo é [tex3]\pi r^2[/tex3], então o raio do círculo vale 1, e portanto o diâmetro [tex3]\overline{MN}[/tex3] vale 2.
Sabemos também que a área do trapézio vale [tex3]5 \text{ cm}^2[/tex3]. Usando a fórmula da área, temos:
[tex3]\frac{(\Omega+\omega)h}{2}=5[/tex3]
[tex3]\frac{(\Omega+\omega)2}{2}=5[/tex3]
[tex3]\Omega+\omega=5[/tex3]

Segundo o Teorema do Quadrilátero Circunscritível, a soma de pares de lados oposto é a mesma, assim:
[tex3]\Omega+\omega=\overline{AD}+\overline{BC}[/tex3]
[tex3]5=\overline{AD}+\overline{BC}[/tex3]
Como [tex3]\overline{AD}=\overline{BC}[/tex3], então [tex3]\overline{AD}=\overline{BC}={5\over2}[/tex3].

Estendendo as retas [tex3]\overline{BC}[/tex3] e [tex3]\overline{MN}[/tex3]:

IME 65 Trapézio extendido.png (20.34 KiB) Exibido 1088 vezes

Como tanto [tex3]\Delta CGM[/tex3] quanto [tex3]\Delta BGN[/tex3] tem ângulos [tex3]\alpha , 90^\circ[/tex3] em comum, então temos dois triângulos com semelhança do tipo ângulo-ângulo. Se chamarmos o lado [tex3]\overline{GN}=x[/tex3] e [tex3]\overline{GB}=y[/tex3], podemos escrever:
[tex3]{\overline{GB}\over\overline{GC}}={\overline{GN}\over\overline{GM}}[/tex3]
[tex3]{y\over y+{5\over2}}={x\over x+2}[/tex3]
[tex3]y(x+2)=x\left(y+{5\over2}\right)[/tex3]
[tex3]yx+2y=xy+{5x\over2}[/tex3]
[tex3]2y={5x\over2}[/tex3]
[tex3]y={5x\over4}[/tex3]

Tomando o triângulo [tex3]\Delta BGN[/tex3], de hipotenusa [tex3]\overline{GB}[/tex3], podemos usar Pitágoras:
[tex3]\overline{GB}^2=\overline{GN}^2+\overline{NB}^2[/tex3]
[tex3]y^2=x^2+\left(\frac{\omega}{2}\right)^2[/tex3]
[tex3]\left(\frac{5x}{4}\right)^2=x^2+\left(\frac{\omega}{2}\right)^2[/tex3]
[tex3]\frac{25x^2}{16}=x^2+\left(\frac{\omega}{2}\right)^2[/tex3]
[tex3]\frac{25x^2}{16}-x^2=\left(\frac{\omega}{2}\right)^2[/tex3]
[tex3]\frac{9x^2}{16}=\left(\frac{\omega}{2}\right)^2[/tex3]
[tex3]\frac{3x}{4}=\frac{\omega}{2}[/tex3]
[tex3]x=\frac{2\omega}{3}[/tex3]

Usando mais uma relação da semelhança ângulo-ângulo:
[tex3]{\overline{GN}\over\overline{GM}}={\overline{BN}\over\overline{CM}}[/tex3]
Como provei antes, [tex3]M[/tex3] é ponto médio de [tex3]\overline{CD}[/tex3] e [tex3]N[/tex3] é ponto médio de [tex3]\overline{AB}[/tex3], assim, [tex3]\overline{CM}={\Omega\over2}[/tex3] e [tex3]\overline{BN}={\omega\over2}[/tex3]:
[tex3]{x\over x+2}={{\omega\over2}\over{\Omega\over2}}[/tex3]
[tex3]{x\over x+2}={\omega\over \Omega}[/tex3]
[tex3]{\frac{2\omega}{3}\over \frac{2\omega}{3}+2}={\omega\over \Omega}[/tex3]
[tex3]{2\omega\over 2\omega+6}={\omega\over \Omega}[/tex3]
[tex3]{2\over 2\omega+6}={1\over \Omega}[/tex3]
[tex3]{1\over \omega+3}={1\over \Omega}[/tex3]
[tex3]\Omega=\omega+3[/tex3]

Sabemos lá do início que [tex3]\Omega+\omega=5[/tex3], então:
[tex3]\Omega+\omega=5[/tex3]
[tex3]\omega+3+\omega=5[/tex3]
[tex3]2\omega=2[/tex3]
[tex3]\omega=1[/tex3]

[tex3]\Omega=\omega+3[/tex3]
[tex3]\Omega=4[/tex3]

Depois de toda essa jornada, ainda temos que calcular o volume do sólido de revolução. Fazendo um desenho fica "fácil" de ver que ele será um tronco de cone com um tronco de cone faltando no meio:

IME 65 Trapézio Revolucionado.png (63.49 KiB) Exibido 1088 vezes

Caso não tenha ficado claro, é algo assim:

318825_original.jpg (51.21 KiB) Exibido 1088 vezes

O volume e área de um tronco de cone é dado, respectivamente pelas fórmulas:
[tex3]V=\frac{\pi}{3}h\left(R^2+Rr+r^2\right)[/tex3]
[tex3]A=\pi g (R+r)+\pi R^2+\pi r^2[/tex3]
Onde [tex3]g[/tex3] é a geratriz do cone, [tex3]R[/tex3] é o raio do círculo maior e [tex3]r[/tex3] do menor.

Considerando o caso em que ele está a uma distância do vértice da base maior, teremos o seguinte:

IME 65 Raios maior.png (18.13 KiB) Exibido 1088 vezes

As medidas [tex3]\overline{CF},\overline{DG}[/tex3] podem ser achadas usando recursos que usei na demonstração dos pontos médios (e eu não tô afim de fazer por que essa questão já tá muito grande);

Pra ficar mais claro o que é cada uma das medidas no trapézio, usarei nossa receita:

IME 65 Raios maior com Pudim.jpg (39.73 KiB) Exibido 1088 vezes

O volume da "massa" sem furo é:
[tex3]V=\frac{\pi}{3}\cdot2\left(8^2+8\cdot 6,5+(6,5)^2\right)[/tex3]
[tex3]V= {211\over2} \pi\,\text{ cm}^3[/tex3]

O volume do furo é:
[tex3]V=\frac{\pi}{3}\cdot2\left((5,5)^2+5,5\cdot 4+4^2\right)[/tex3]
[tex3]V= {91\over2} \pi\,\text{ cm}^3[/tex3]

Assim, o volume final será o volume da massa menos o volume do furo:
[tex3]V_f= {211\over2} \pi-{91\over2} \pi[/tex3]
[tex3]V_f= {120\over2} \pi[/tex3]
[tex3]V_f= 60 \pi\,\text{ cm}^3[/tex3]

A área total vai ser a área das circunferências maiores, menos as das circunferências menores, mais a área lateral de fora e a lateral do furo:
[tex3]A_{C_1}=\pi {R_1}^2[/tex3]
[tex3]A_{C_1}=\pi \cdot{8}^2[/tex3]
[tex3]A_{C_1}=64\pi\,\text{ cm}^2 [/tex3]

[tex3]A_{C_2}=\pi {R_2}^2[/tex3]
[tex3]A_{C_2}=\pi {(6,5)}^2[/tex3]
[tex3]A_{C_2}={169\over4}\pi\,\text{ cm}^2 [/tex3]

[tex3]A_{c_1}=\pi {r_1}^2[/tex3]
[tex3]A_{c_1}=\pi {(5,5)}^2[/tex3]
[tex3]A_{c_1}={121\over4}\pi\,\text{ cm}^2 [/tex3]

[tex3]A_{c_2}=\pi {r_2}^2[/tex3]
[tex3]A_{c_2}=\pi \cdot{4}^2[/tex3]
[tex3]A_{c_2}=16\pi\,\text{ cm}^2 [/tex3]

A área lateral de um tronco de cone é dada por:
[tex3]A_l=\pi \cdot g (R+r)[/tex3]

Assim, as áreas laterais do pudim e do furo são:
[tex3]A_{l_p}=\pi \cdot 2,5\cdot (8+6,5)[/tex3]
[tex3]A_{l_p}={145\over4}\pi \,\text{ cm}^2[/tex3]

[tex3]A_{l_f}=\pi \cdot 2,5\cdot (5,5+4)[/tex3]
[tex3]A_{l_f}={95\over4}\pi \,\text{ cm}^2[/tex3]

FINALMENTE, a área total do nosso pudim é:
[tex3]A_{t}=A_{C_1}+A_{C_2}-A_{c_1}-A_{c_2}+A_{l_p}+A_{l_f}[/tex3]
[tex3]A_{t}=120\pi \,\text{ cm}^2[/tex3]