Ensino Médio ⇒ Trigonometria: Relações Trigonométricas Fundamentais

[Alexandre_SC]

[tex3][(\cos^2 (1^\circ) + \cos^2 (2^\circ) + \cdots+\cos^2 (89^\circ)] - [(\text{sen}\,^2 (1^\circ) + \text{sen}\,^2 (2^\circ) +\cdots+\text{sen}\,^2 (89^\circ)][/tex3] é:

a) [tex3]{-}1[/tex3]
b) [tex3]0[/tex3]
c) [tex3]1[/tex3]
d) [tex3]89[/tex3]
e) impossível

Solução:

---

É preciso saber que [tex3]\cos(\alpha) = \sin(90^\circ - \alpha)[/tex3]

Assim podemos reescrever a expressão como

• [tex3][\cos^2(1^\circ)+\cos^2(2^\circ)+\cos^2(3^\circ)+\cos^2(89^\circ)] -[/tex3]
  
  [tex3]\text{ }-[\cos^2(90^\circ - 1^\circ)+\cos^2(90^\circ - 2^\circ)+\cos^2(90^\circ - 3^\circ)+\cos^2(90^\circ - 89^\circ)]=[/tex3]
  
  [tex3][\cos^2(1^\circ)+\cos^2(2^\circ)+\cos^2(3^\circ)+\cos^2(89^\circ)] - [\cos^2(89^\circ)+\cos^2(88^\circ)+\cos^2(87^\circ)+\cos^2(1^\circ)] = 0[/tex3]

Note que todos os termos se cancelam!

[AnthonyC]

Vou provar geometricamente o que ele escreveu ali:

[tex3]\cos(x)=\sen(90^\circ-x)[/tex3]
Sabemos que, no ciclo trigonométrico:

Ciclo Trigonométrico.png (24.4 KiB) Exibido 328 vezes

Os ângulos internos de um triângulo somam [tex3]180^\circ[/tex3]:
[tex3]\alpha +\beta+90^\circ=180^{\circ}[/tex3]
[tex3]\alpha +\beta=90^{\circ}[/tex3]
[tex3]\beta=90^{\circ}-\alpha [/tex3]

Pela definição de seno, temos:
[tex3]\sen(\beta)={\text {Cateto Oposto}\over \text{Hipotenusa}}[/tex3]
[tex3]\sen(\beta)={\cos(\alpha)\over 1}[/tex3]
[tex3]\sen(90^{\circ}-\alpha)=\cos(\alpha)[/tex3]

Daqui também podemos tirar outra relaçãozinha. Pela definição de cosseno:
[tex3]\cos(\beta)={\text {Cateto Adjacente}\over \text{Hipotenusa}}[/tex3]
[tex3]\cos(\beta)={\sen(\alpha)\over 1}[/tex3]
[tex3]\cos(90^{\circ}-\alpha)=\sen(\alpha)[/tex3]