Demonstrações ⇒ Demonstração Operador-Diferença

[AnthonyC]

Um conceito bem útil em questões de somatórios é o conceito de Operador Diferença, definido como:
[tex3]\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)[/tex3]

A vantagem de saber esse conceito é quando estamos calculando [tex3]\sum_{x=a}^{n}g(x)[/tex3], por que, se encontrarmos um operador diferença, tal que [tex3]\Delta f(x)=g(x)[/tex3], então:
[tex3]\sum_{x=a}^{n}g(x)=f(n+1)-f(a)[/tex3]

Demonstração:
Supondo que exista [tex3]\Delta f(x)[/tex3] tal que [tex3]\Delta f(x)=g(x)[/tex3]. Então:
[tex3]\sum_{x=a}^{n}g(x)=\sum_{x=a}^{n}\Delta f(x)[/tex3]
[tex3]\sum_{x=a}^{n}g(x)=\sum_{x=a}^{n}[f(x+1)-f(x)][/tex3]
[tex3]\sum_{x=a}^{n}g(x)={\color{teal}\sum_{x=a}^{n}f(x+1)}-{\color{BrickRed}\sum_{x=a}^{n}f(x)}[/tex3]
Tirando o primeiro termo da segunda soma e o último termo da primeira:
[tex3]\sum_{x=a}^{n}g(x)={\color{teal}\sum_{x=a}^{n-1}f(x+1)+f(n+1)}-{\color{BrickRed}\left(f(a)+\sum_{x=a+1}^{n}f(x)\right)}[/tex3]

Fazendo uma mudança de índice na primeira soma:
[tex3]\sum_{x=a}^{n-1}f(x+1)[/tex3]
Fazendo [tex3]x+1=u[/tex3], tal que [tex3]\begin{cases}
x=n-1\implies u=n \\
x=a\implies u =a+1
\end{cases}[/tex3]:
[tex3]\sum_{x=a}^{n-1}f(x+1)=\sum_{u=a+1}^{n}f(u)[/tex3]
Porém, a variável utilizada não altera o valor do somatório, então podemos escrever:
[tex3]\sum_{x=a}^{n-1}f(x+1)=\sum_{u=a+1}^{n}f(u)=\sum_{x=a+1}^{n}f(x)[/tex3]
Substituindo isso na equação original:
[tex3]\sum_{x=a}^{n}g(x)=\sum_{x=a}^{n-1}f(x+1)+f(n+1)-\left(f(a)+\sum_{x=a+1}^{n}f(x)\right)[/tex3]
[tex3]\sum_{x=a}^{n}g(x)={\color{teal}\sum_{x=a+1}^{n}f(x)}+f(n+1)-f(a)-{\color{teal}\sum_{x=a+1}^{n}f(x)}[/tex3]
[tex3]\sum_{x=a}^{n}g(x)=f(n+1)-f(a)+\color{teal}\sum_{x=a+1}^{n}f(x)-\sum_{x=a+1}^{n}f(x)[/tex3]
[tex3]\color{BurntOrange}\sum_{x=a}^{n}g(x)=f(n+1)-f(a) \,\,\,\text{C.Q.D}[/tex3]

[AnthonyC]

Encontrar [tex3]\Delta f(x)[/tex3] exige treino e conhecimento sobre funções, mas é um método bem poderoso. Vamos usar essa ferramenta pra encontrar as seguintes somas:

Exemplo 1:
[tex3]\sum_{x=0}^{n}2x+1[/tex3]

[tex3](x+1)^2=x^2+2x+1[/tex3]
[tex3](x+1)^2-x^2=2x+1[/tex3]
Então, se escolhermos [tex3]f(x)=x^2[/tex3], [tex3]\Delta f(x)=2x+1[/tex3].
Pelo Teorema do Operador-Diferença (*obs ):
[tex3]\sum_{x=0}^{n}2x+1=f(n+1)-f(0)[/tex3]
[tex3]\sum_{x=0}^{n}2x+1=(n+1)^2-0^2[/tex3]
[tex3]\sum_{x=0}^{n}2x+1=(n+1)^2[/tex3]

Aí temos um resultado interessante, a soma dos números impares, partindo do 1, é sempre igual à um quadrado perfeito.

Exemplo 2:
[tex3]\sum_{x=0}^{n}\cos(x)[/tex3]
Nesse caso, como estamos estudando cosseno, vamos utilizar a seguinte relação:
[tex3]\sen(\alpha)-\sen(\beta)=2\sen\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)[/tex3]
Queremos algo da forma [tex3]f(x+1)-f(x)[/tex3], então primeiro faremos a substituição [tex3]t+1=\alpha[/tex3] e [tex3]t=\beta[/tex3]:
[tex3]\sen(t+1)-\sen(t)=2\sen\left(\frac{t+1-t}{2}\right)\cos\left(\frac{t+1+t}{2}\right)[/tex3]
[tex3]\sen(t+1)-\sen(t)=2\sen\left(\frac{1}{2}\right)\cos\left(\frac{2t+1}{2}\right)[/tex3]
Como queremos achar [tex3]\cos(x)[/tex3], vamos fazer a substituição [tex3]{2t+1\over2}=x\implies t={2x-1\over2}[/tex3]:
[tex3]\sen\left({2x-1\over2}+1\right)-\sen\left({2x-1\over2}\right)=2\sen\left(\frac{1}{2}\right)\cos\left(x\right)[/tex3]
[tex3]{\sen\left({2x+1\over2}\right)\over2\sen\left(\frac{1}{2}\right)}-{\sen\left({2x-1\over2}\right)\over2\sen\left(\frac{1}{2}\right)}=\cos\left(x\right)[/tex3]

Assim, se escolhermos [tex3]f(x)={\sen\left({2x-1\over2}\right)\over2\sen\left(\frac{1}{2}\right)}[/tex3], então [tex3]\Delta f(x)=\cos(x) [/tex3]. Pelo Teorema do Operador-Diferença :
[tex3]\sum_{x=0}^{n}\cos(x)=f(n+1)-f(0)[/tex3]
[tex3]\sum_{x=0}^{n}\cos(x)={\sen\left({2(n+1)-1\over2}\right)\over2\sen\left(\frac{1}{2}\right)}-{\sen\left({2\cdot0-1\over2}\right)\over2\sen\left(\frac{1}{2}\right)}[/tex3]
[tex3]\sum_{x=0}^{n}\cos(x)={\sen\left(n+{1\over2}\right)\over2\sen\left(\frac{1}{2}\right)}-{\sen\left(-{1\over2}\right)\over2\sen\left(\frac{1}{2}\right)}[/tex3]
[tex3]\sum_{x=0}^{n}\cos(x)={\sen\left(n+{1\over2}\right)\over2\sen\left(\frac{1}{2}\right)}+{\sen\left({1\over2}\right)\over2\sen\left(\frac{1}{2}\right)}[/tex3]
[tex3]\sum_{x=0}^{n}\cos(x)={\sen\left(n+{1\over2}\right)\over2\sen\left(\frac{1}{2}\right)}+{1\over2}[/tex3]

Exemplo 3:
[tex3]\sum_{k=1}^{n}kk![/tex3]
Novamente, a parte mais difícil é achar [tex3]\Delta f[/tex3]. Explorando um pouco fatoriais, podemos ver que :
[tex3](k+1)!-k!=(k+1)k!-k![/tex3]
[tex3](k+1)!-k!=(k+1-1)k![/tex3]
[tex3](k+1)!-k!=kk![/tex3]
Assim, se escolhermos [tex3]f(k)=k![/tex3], [tex3]\Delta f(k)=kk![/tex3]. Pelo Teorema do Operador-Diferença :
[tex3]\sum_{k=1}^{n}kk!=f(n+1)-f(1)[/tex3]
[tex3]\sum_{k=1}^{n}kk!=(n+1)!-1![/tex3]
[tex3]\sum_{k=1}^{n}kk!=(n+1)!-1[/tex3]

Obs: eu não sei se esse teorema tem nome, se tiver e alguém souber, coloca aqui