Ensino Médio ⇒ Resto da divisão de dois polinômios Tópico resolvido

[Corlet]

O resto na divisão do polinômio p(x) = x⁸¹ + x⁴⁹ + x²⁵ + x⁹ + x pelo polinômio d(x) = x³ - x é:

a) 5x
b) 5x² - 5x + 1
c) x²⁷ + x
d) 5
e) -1

Alternativa correta é a a).

[A13235378]

Olá:

P(X) = Q(X) d(X) + R(X).

Como o divisor é de grau 3 , o resto vai ser de um grau menor, no máximo de grau 2.

R(X) = aX^2 + bX +c , com a b c reais.

d(x) = x^3 - 1

Fazendo d(x) = 0 , temos tres possibilidades: 0 , 1 e -1.

Logo, substituindo X nesses tres casos:

P/X=0

P(0)= Q(0)d(0) + R(0):

0 = R(0)

Logo c=0

P/X = 1

P(1) = R(1)

5 = a + b (I)

P/ X= -1

P(-1) = R(-1)

-5 = a-b (II)

Somando (I) e (II) => 2a= 0 , a= 0 e b = 5

Logo, R(X) = 5X