Demonstrações ⇒ Demonstração — Ceva Trigonométrico

[Tassandro]

Considere um triângulo e um ponto no seu interior. Ligando os vértices desse triângulo a esse ponto, obtemos 6 ângulos, os quais vamos denominar [tex3]α_1,α_2,α_3,α_4,α_5,α_6[/tex3]. Nós queremos demonstrar que
[tex3]\senα_1\senα_3\senα_5=\senα_2\senα_4\senα6\tag*{}[/tex3]

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Prova
Sejam [tex3]x,y,z[/tex3] as distâncias desse ponto ao vértice do triângulo e [tex3]a,b,c[/tex3] as distâncias desse ponto aos lados do triângulo. Pela definição de seno, temos que
[tex3]\senα_1=\frac ax,\senα_3=\frac by,\senα_5=\frac{c}{z}\implies\senα_1\senα_3\senα_5=\frac{abc}{xyz}(\star)\tag*{}[/tex3]
[tex3]\senα_2=\frac ay,\senα_4=\frac bz,\senα_6=\frac cx\implies\senα_2\senα_4\senα_6=\frac{abc}{xyz}(\star\star)[/tex3]
Como [tex3](\star)=(\star\star),[/tex3] está provado que
[tex3]\senα_1\senα_3\senα_5=\senα_2\senα_4\senα_6\tag*{}[/tex3]
[tex3]\blacksquare\tag*{}[/tex3]
O uso dessa identidade é muito útil em questões que pedem o valor de determinado ângulo, todavia, ela exige um conhecimento mais avançado de trigonometria. Algumas identidades, combinadas com o uso desta técnica, podem facilitar a nossa vida em várias questões.
Algumas identidades (a prova fica a cargo do leitor):
1) [tex3]\sen18\degree\cdot\sen54\degree=\frac14[/tex3]
A prova dessa identidade é imediata usando-se os valores conhecidos para [tex3]\sen18\degree=\frac{\sqrt5+1}{4},\sen54\degree=\frac{\sqrt5-1}{4}.[/tex3]
2) [tex3]\sen54\degree=\sen30\degree+\sen18\degree[/tex3]
3) [tex3]\sen3x=4\sen x\sen(60\degree -x)\sen(60\degree+x)[/tex3]
4) [tex3]\sen15\degree\sen75\degree=\frac14[/tex3]
5) As conhecidas relações de Prostapherisis e soma e subtração de arcos.
Enfim, esse é apenas um recurso alternativo às construções auxiliares.

[FelipeMartinMOD]

esse teorema é bom pra mostrar a existência dos conjugados isogonais e isso permite demonstrar facilmente o Teorema de Pascal na circunferência.