IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1998) Geometria Plana: Quadriláteros

[paulo testoniMOD]

Um quadrilátero convexo [tex3]Q[/tex3] tem diagonais respectivamente iguais a [tex3]4[/tex3] e [tex3]6.[/tex3] Assinale, dentre as opções, a única possível para o perímetro de [tex3]Q.[/tex3]

a) [tex3]10[/tex3]
b) [tex3]15[/tex3]
c) [tex3]20[/tex3]
d) [tex3]25[/tex3]
e) [tex3]30[/tex3]

[Daniel Hartmann]

Olá paulo testoni. Eu fiquei quebrando a cabeça nessa questão até que, em outro Fórum, resolveram-na (do meu ponto de vista, creio que está resolvida):

Pensei em fazer uma avaliação. Pelos pontos médios dos lados do quadrilátero [tex3]ABCD[/tex3] tracei um quadrilátero interno a ele cujo perímetro, é fácil de ver, é [tex3]6+4=10.[/tex3] Depois pelos vértices [tex3]ABCD[/tex3] tracei outro quadrilátero, externo a ele, com lados iguais a [tex3]6[/tex3] e [tex3]4[/tex3] cujo perímetro é [tex3]12+8=20.[/tex3] Penso que [tex3]ABCD[/tex3] deve ter um perímetro intermediário:

[tex3]10<p<20 \Rightarrow[/tex3] seria a alternativa (b)

Seria isso mesmo?

[roberto]

TEOREMA: Em todo quadrilátero convexo, o perímetro sempre será maior do que duas vezes a sua maior diagonal e menor do que o dobro da soma de suas diagonais!

tut.png (9.38 KiB) Exibido 1432 vezes

Prova do TEOREMA:
Seja o quadrilátero da figura!
AC é sua maior diagonal
AB+BC>AC
AD+DC>AC
logo: 2p>2AC

OA+OB>AC
OC+OB>BC
OC+OD>CD
OA+OD>AD
logo: 2(OA+OC+OB+OD)>2P
2(AC+BD)>2P