Ensino Superior ⇒ Determine o que acontece com sequência quando n→∞ Tópico resolvido

[joaoars]

[tex3][/tex3] Seja , [tex3]n^{r}[/tex3], n!, [tex3]n^{n}[/tex3] [tex3]e^{n}[/tex3] , sendo a >0 e r >0. Determine o que acontece com sequências quando n→ [tex3]\infty [/tex3].
bn=[tex3]\left(\frac{n^r}{e^n}\right)[/tex3]


realmente preciso da explicação de como resolver esse exercício/( nem é para entregar)

[AnthonyC]

Confesso que não entendi muito bem o enunciado.

Seja ,[tex3]n^r, n!\,, n^n, e^n [/tex3], sendo a >0 e r >0.

O que essa primeira parte quer dizer, e cadê o [tex3]a[/tex3]?

Ele quer saber só o que acontece com [tex3]b_n={n^r\over e^n}[/tex3] quando [tex3]n\rightarrow \infty [/tex3]?
Se esse for o caso, dá pra fazer o seguinte:
[tex3]\lim _{n\rightarrow \infty }b_n=\lim _{n\rightarrow \infty }{n^r\over e^n}[/tex3]
[tex3]\lim _{n\rightarrow \infty }b_n={\infty \over \infty }[/tex3]
Podemos aplicar L'Hospital:
[tex3]\lim _{n\rightarrow \infty }b_n=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac{d}{dn}n^r\over \frac{d}{dn}e^n}[/tex3]
[tex3]\lim _{n\rightarrow \infty }b_n=\lim _{n\rightarrow \infty }{rn^{r-1}\over e^n}[/tex3]
[tex3]\lim _{n\rightarrow \infty }b_n={\infty \over \infty }[/tex3]
Aplicando L'Hospital novamente:
[tex3]\lim _{n\rightarrow \infty }b_n=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac{d}{dn}rn^{r-1}\over \frac{d}{dn}e^n}[/tex3]
[tex3]\lim _{n\rightarrow \infty }b_n=\lim _{n\rightarrow \infty }{r(r-1)n^{r-2}\over e^n}[/tex3]
[tex3]\lim _{n\rightarrow \infty }b_n={\infty \over \infty }[/tex3]

Assim, se palicarmos L'Hospital mais [tex3]r-2[/tex3] vezes, teremos:
[tex3]\lim _{n\rightarrow \infty }b_n=\lim _{n\rightarrow \infty }{r!\over e^n}[/tex3]
Como [tex3]r=cte[/tex3], então teremos:
[tex3]\lim _{n\rightarrow \infty }b_n=0[/tex3]