IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1987) Geometria Plana Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

No triângulo [tex3]ABC[/tex3], têm-se [tex3]BC=a[/tex3] e a altura [tex3]AH=h[/tex3]. O lado do triângulo eqüilátero [tex3]DEF[/tex3] inscrito em [tex3]ABC[/tex3] tal que [tex3]DE[/tex3] é paralelo a [tex3]BC[/tex3] é dado pela expressão

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(A) [tex3]\frac{2ah}{a\sqrt{3}+2h}[/tex3].
(B) [tex3]\frac{ah}{h+a\sqrt{3}}[/tex3].
(C) [tex3]\frac{2h}{h\sqrt{3}+a}[/tex3].
(D) [tex3]\frac{2a}{a\sqrt{3}+h}[/tex3].
(E) [tex3]\frac{2ah}{2a\sqrt{3}+h}[/tex3].

Resposta

---

A

[jneto]

Boa noite,

O triângulo ABC é semelhante ao triângulo ADE; além disso, fazendo:

[tex3]x = DE \\[/tex3]

Segue que a altura do triângulo equilátero inscrito é dada por:

[tex3]h_{\Delta} = \frac{x\sqrt{3}}{2}[/tex3]

Da semelhança dos triângulos em questão segue que:

[tex3]\frac{AX}{AH} = \frac{DE}{BC}\,\,\to\,\,\frac{h - h_{\Delta}}{h} = \frac{x}{a}\,\,\to\,\,a(h - h_{\Delta}) = xh[/tex3]

Onde X é o ponto de intersecção entre AH e DE

Resolvendo para x , temos [tex3]\boxed{DE = x = \frac{2ah}{a\sqrt{3} + 2h}}[/tex3]

[tex3]\boxed{Resposta:\,\, Alternativa\,\, A}[/tex3]


Feliz Ano Novo e fiquem com Deus