Ensino Médio ⇒ área da figura hachurada Tópico resolvido

[roberto]

Seja um quadrado de lados AB,BC,CD,DA e área "a²" Usando o ponto médio de DA como vértice,constrói-se um triângulo de base BC,e usando o ponto médio de CD como vértice,constrói-se um triângulo de base AB. Pede-se calcular a área de intersecção dos dois triângulos em função de "a" (lado do quadrado). Resposta 4a²/15.

[paulo testoniMOD]

Hola Roberto.

[tex3]A(0,a), B(a,a), C(a,0) e D(0,0)[/tex3]

[tex3]M(0,\frac{a}{2})[/tex3]
[tex3]N(\frac{a}{2},0)[/tex3]

reta (r) que passa por AN: [tex3]y = -2x + a[/tex3]
reta (s) que passa por CM: [tex3]y = (\frac{-x}{2}) + (\frac{a}{2})[/tex3]
reta (t) que passa por BN: [tex3]y = 2x - a[/tex3]

[tex3](r)\cap (s) = P(\frac{a}{3},\frac{a}{3})[/tex3]
[tex3](s)\cap (t) = Q(\frac{3a}{5},\frac{a}{5})[/tex3]

calculando a área de BPQ, temos; [tex3]\frac{2a^2}{15}[/tex3]

mas a área pedida é duas vezes a área de BPQ temos: [tex3]\frac{4a^2}{15}[/tex3]

De acordo co o Zito Rodrigues.

[adrianotavares]

Olá, Roberto.

O paulotestone já resolveu esse exercício por geometria analítica.Vou colocar a minha por geometria plana que é uma outra forma de resolução.

Quadrado ABCD.GIF (3.97 KiB) Exibido 4593 vezes

Os triângulos [tex3]EDC[/tex3] e [tex3]MGC[/tex3] são semelhantes

[tex3]\frac{\frac{a}{2}}{a} = \frac{x}{a-x}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}= \frac{x}{a-x}[/tex3]

[tex3]GC= a- \frac{a}{3} \Rightarrow GC= \frac{2a}{3}[/tex3]

Cálculo de [tex3]MC[/tex3] aplicando Pitágoras no [tex3]\Delta GMC[/tex3]:

[tex3](MC)^2= \frac{a^2}{9}+ \frac{4a^2}{9}[/tex3]

[tex3]MC^2= \frac{5a^2}{9}[/tex3]

[tex3]MC= \frac{a \sqrt{5}}{3}[/tex3]

Cálculo de [tex3]BF[/tex3] aplicando Pitágoras no [tex3]\Delta BCF[/tex3]:

[tex3](BF)^2 = a^2+\frac{a^2}{4}[/tex3]

[tex3](BF)^2= \frac{5a^2}{4}[/tex3]

[tex3]BF= \frac{a \sqrt{5}}{2}[/tex3]

Cálculo de [tex3]HC[/tex3] aplicando as relaçoes métricas no triângulo retângulo [tex3]BCF[/tex3]:

[tex3]FC\cdot BC= BF\cdot HC[/tex3]

[tex3]\frac{a}{2}\cdot a= \frac{a \sqrt{5}}{2}\cdot HC[/tex3]

[tex3]HC= \frac{a }{\sqrt{5}} \Rightarrow HC= \frac{a \sqrt{5}}{5}[/tex3]

[tex3]MH= MC- HC[/tex3]

[tex3]MH= \frac{a \sqrt{5}}{3}- \frac{a \sqrt{5}}{5}[/tex3]

[tex3]MH= \frac{5a \sqrt{5} - 3a \sqrt{5}}{15} \Rightarrow MH= \frac{2a \sqrt{5}}{15}[/tex3]

Cálculo de [tex3]HB[/tex3]:

[tex3](BC)^2= BF\cdot HB[/tex3]

[tex3]\frac{a^2}{2}= \frac{a \sqrt{5}}{2}[/tex3]

[tex3]HB= \frac{2a \sqrt{5}}{5}[/tex3]

Cálculo da área Hachurada:

[tex3]A_h= 2\cdot A_{\Delta BHM}[/tex3]

[tex3]A_h= 2\cdot \(\frac{\frac{2a \sqrt{5}}{5}. \frac{2a \sqrt{5}}{15}}{2}\)[/tex3]

[tex3]A_h= \frac{4a^2}{15}[/tex3]