Ensino Médio ⇒ Círculo tangente - raio Tópico resolvido

[Babi123]

[tex3]\#ABCD[/tex3] é um retângulo, com [tex3]AB < BC[/tex3]. Os quartos de círculos de centro em [tex3]B[/tex3] e raio [tex3]BA[/tex3] , centro em [tex3]C[/tex3] e raio [tex3]CE[/tex3] e o semicírculo [tex3]DGF[/tex3] são tangentes nos pontos [tex3]E,F,G[/tex3]. Determinar o raio do círculo vermelho em termos de [tex3]AD=a[/tex3].

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Meu hint:

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Seja [tex3]b=AB=BE=CD[/tex3] então [tex3]EC=FC=a-b~(1)[/tex3] e logo [tex3]DF=DC-FC=2b-a[/tex3] assim [tex3]DO=OF=OG=\frac{DF}2=b-\frac{a}2~(2).[/tex3]
Então [tex3]OC=OF+FC=\frac{a}2[/tex3] e [tex3]OB=BG+OG=2b-\frac{a}2.[/tex3]

Por outro lado, aplicando Pitágoras em [tex3]BCO[/tex3] temos [tex3]BO=\frac{a\sqrt{5}}2[/tex3] então [tex3]2b-\frac{a}2=\frac{a\sqrt{5}}2[/tex3] e logo [tex3]b=\dfrac{a}4(1+\sqrt{5}).[/tex3]

Substituindo em nas expressões [tex3](1)[/tex3] e [tex3](2)[/tex3] obtemos, respectivamente, que o raio do quarto de círculo de centro [tex3]C[/tex3] é [tex3]a-b=\frac{a}4(3-\sqrt{5})[/tex3] e que o raio do semicírculo é [tex3]b-\frac{a}2=\frac{a}4(-1+\sqrt{5}).[/tex3]

Se [tex3]r[/tex3] é o raio do círculo vermelho então
[tex3]\boxed{BM=\frac{a}4(1+\sqrt{5})+r;~~~MO=\frac{a}4(-1+\sqrt{5})+r;~~~MC=\frac{a}4(3-\sqrt{5})+r}[/tex3]



Talvez alguém consiga desenvolver mais que eu a partir de um insight ou de um lema salvador (claro que dá para sair na brutalidade por meio de Heron ou analítica mas acho muito trabalhoso)

[Babi123]

Talvez alguém consiga desenvolver mais que eu a partir de um insight ou de um lema salvador

Encontrei!!!
O magodaplana colocou o teorema que trata desses casos: viewtopic.php?f=2&t=83718

[Tassandro]

Só falta fazer as contas, eis o que fiz
Sejam [tex3]AB=r_1, CF=r_2,\frac{DF}{2}=r_3[/tex3] o raio pedido, [tex3]r_4[/tex3].
Pelo Teorema de Descartes,
[tex3]2\(\frac{1}{r_1^2}+\frac1{r_2^2}+\frac{1}{r_3^2}+\frac{1}{r_4^2}\)=\(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}+\frac{1}{r_4}\)^2[/tex3]
Facilmente podemos obter as relações
[tex3]r_1+r_2=a\\
r_2+r_3=\frac a2\\
r_3+r_1=\frac{\sqrt5a}{2}[/tex3]
Daí, dá para achar esses raios em termos de a, e usando a equação do começo,
[tex3]2\(\frac{(r_1r_2)^2+(r_2r_3)^2+(r_3r_1)^2}{(r_1r_2r_3)^2}+\frac{1}{r_4^2}\)=\(\frac{r_1r_2+r_2r_3+r_3r_1}{r_1r_2r_3}+\frac{1}{r_4}\)^2[/tex3]
Agora é só (muita) conta

[Babi123]

Agora é só (muita) conta

[FelipeMartinMOD]

o círculo pedido chama-se círculo de Soddy interno do triângulo [tex3]\triangle OBC[/tex3].
https://mathworld.wolfram.com/SoddyCircles.html

Seu raio é dado pela equação de descartes:
[tex3]r = \frac{r_1r_2r_3}{r_1r_2+r_2r_3+r_1r_3 + 2\sqrt{r_1r_2r_3(r_1+r_2+r_3)}}[/tex3]
onde [tex3]r_1 = b[/tex3], [tex3]r_2 = a-b[/tex3] e [tex3]r_3 = b- \frac a2[/tex3].
a soma: [tex3]r_1 + r_2 + r_3 = b + \frac a2[/tex3]
[tex3]r_1r_2r_3 = b(a-b)(b-\frac a2)[/tex3]
[tex3]r_1r_2+r_2r_3+r_1r_3= b(a-b) + b(b-\frac a2)+(a-b)(b-\frac a2)=2ab - b^2 - \frac{a^2}2[/tex3].
A raíz quadrada ali embaixo fica:
[tex3]r_1r_2r_3(r_1+r_2+r_3) = b(a-b)(b-\frac a2)(b + \frac a2)[/tex3]
mas teria que jogar o [tex3]b = a\frac{1+\sqrt5}4[/tex3] ai em cima.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=s ... %2F2%29%29
[tex3]r = \frac{b(a-b)(b-\frac a2)}{ 2ab - b^2 - \frac{a^2}2+ \frac{a^2}2} = \frac{b(a-b)(b-\frac a2)}{b(2a-b)}[/tex3]
[tex3]r = \frac{(a-b)(b-\frac a2)}{2a-b} [/tex3]
resolvendo tudo:

[tex3]\boxed{r = \frac{a}{44}(5\sqrt5-9)}[/tex3]