IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 2006) Decomposição Tópico resolvido

[agp16]

No dispositivo abaixo, tem-se a decomposição tradicional em fatores primos de um número natural [tex3]N[/tex3], em que a letra [tex3]x[/tex3] está substituindo qualquer número natural diferente de [tex3]N[/tex3], zero e um. Sendo [tex3]y[/tex3] o número total de divisores naturais de [tex3]N[/tex3], quantos são os valores possíveis para [tex3]y[/tex3]?

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a) três
b) quatro
c) cinco
d) seis
e) sete

Resposta

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Alternativa:c) cinco

[cajuADMIN]

Olá agp16,

Devemos ver todas as possibilidades de combinações de diferentes primos no lugar dos valores [tex3]x[/tex3].

Digamos que temos os primos [tex3]a[/tex3], [tex3]b[/tex3], [tex3]c[/tex3] e [tex3]d[/tex3] (todos diferentes entre si).

Como o valor [tex3]N[/tex3] tem no máximo [tex3]4[/tex3] fatores primos, podemos escrever o número [tex3]N[/tex3] como sendo:

[tex3]N=a\cdot b\cdot c\cdot d\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\text{16 divisores}[/tex3]

[tex3]N=a^2\cdot b\cdot c\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\text{12 divisores}[/tex3]

[tex3]N=a^2\cdot b^2\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\text{9 divisores}[/tex3]

[tex3]N=a^3\cdot b\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\text{8 divisores}[/tex3]

[tex3]N=a^4\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\text{5 divisores}[/tex3]

Ou seja, [tex3]5[/tex3] possibilidades diferentes para a quantidade de divisores do número [tex3]N[/tex3].

Um grande abraço.