(Austria 2002) Geometria plana

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leonardogomes Offline: Mensagens: 14; Registrado em: 10 Ago 2012, 10:50; Agradeceu: 7 vezes; Agradeceram: 2 vezes

Set 2012 15 10:09

(Austria 2002) Geometria plana

Mensagempor leonardogomes » 15 Set 2012, 10:09

Mensagem por leonardogomes » 15 Set 2012, 10:09

Num quadrilátero ABCD de base AB, seja E o ponto médio do lado AD. além disso, tem-se 2CD=EC=BC=b. Cálcule a área de ABCD em função de b. Sabendo que ECB=120.

Editado pela última vez por leonardogomes em 15 Set 2012, 10:09, em um total de 1 vez.

"O que quer que você faça na sua vida será insignificante, mas é muito importante que você faça, porque ninguém mais o fará! "
Mahatma Gandhi

leonardogomes

Ittalo25 Offline: Mensagens: 2350; Registrado em: 18 Nov 2013, 22:11; Agradeceu: 299 vezes; Agradeceram: 1420 vezes

Ago 2020 05 15:31

Re: (Austria 2002) Geometria plana

Mensagempor Ittalo25 » 05 Ago 2020, 15:31

Mensagem por Ittalo25 » 05 Ago 2020, 15:31

: 5.png (32.35 KiB) Exibido 586 vezes

Pensei em refletir C em C' conforme a imagem, então a área procurada é:

[tex3][ABCD] = [ABCC'] = [BCC']+[BAC'] = \frac{b\cdot 2b \cdot sen(120^o)}{2} + [BAC'][/tex3]

[tex3]\Delta BAC'[/tex3] tem lados: [tex3]\begin{cases}
C'A=\frac{b}{2} \\
C'B= \sqrt{b^2+4b^2-2\cdot b\cdot 2b \cdot cos(120^o)}=b\sqrt{7}
\end{cases}[/tex3]

Agora falta o [tex3]AB [/tex3]

Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

Ittalo25

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(Aústria - 2002) Frações irredutíveis

Últ. msg por lucas36 « 02 Jan 2012, 21:48
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 1
por theblackmamba » 02 Jan 2012, 19:48 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

theblackmamba

Determine o menor inteiro positivo x para o qual todas as frações:

[tex3]\frac{3x + 9}{8} ,\,\frac{3x + 10}{9} ,\,\frac{3x + 11}{10}, \, ... ,\, \frac{3x + 49}{48}[/tex3] são irredutíveis.

Últ. msg

lucas36

As fracões são da forma [tex3]\dfrac{3x+a+1}{a}[/tex3].
Para estas serem irredutíveis, devemos ter [tex3]\text{mdc}(3x+a+1, a)=1[/tex3], mas [tex3]\text{mdc}(3x+a+1, a)=\text{mdc}(3x+1, a)=1[/tex3], isto é, nenhum primo que divida [tex3]a[/tex3]...
lucas361theblackmamba1: 1 Resp.; 946 Exibições; Últ. msg por lucas36
02 Jan 2012, 21:48

Áustria 2004

Últ. msg por theblackmamba « 02 Jan 2012, 19:37
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 1
por Cássio » 02 Jan 2012, 18:47 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

Cássio

Encontre todos os inteiros [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] tais que

[tex3](a^3+b)\cdot (a+b^3) = (a+b)^4[/tex3]

Últ. msg

theblackmamba

Olá Cássio,

Desenvolvendo:

[tex3]a^4 + a^3 b^3 + ab + b^4 = a^4 + 4a^3 b + 6a^2 b^2 + 4a b^3 + b^4[/tex3]
[tex3]a^3 b^3 + ab = 4a^3 b + 6a^2 b^2 + 4ab^3[/tex3]
[tex3]ab(a^2 b^2 + 1) = ab(4a^2 + 6ab + 4b^2)[/tex3]
[tex3]a^2 b^2 + 1 = 4a^2 + 6ab + 4b^2[/tex3]...
Cássio1theblackmamba1: 1 Resp.; 787 Exibições; Últ. msg por theblackmamba
02 Jan 2012, 19:37

(Áustria) Triplas Ordenadas

Últ. msg por FelipeMartin « 31 Jul 2024, 09:23
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 3
por theblackmamba » 02 Mai 2012, 17:44 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

theblackmamba

Determine todas as triplas ordenadas de inteiros postivos [tex3](a,\ b,\ c)[/tex3] tais que [tex3]8^a + 17 = b^c[/tex3]

Últ. msg

FelipeMartin

Sabemos que [tex3]b[/tex3] é ímpar.
Vamos supor [tex3]a \geq 3[/tex3].

Se [tex3]a[/tex3] e [tex3]c[/tex3] forem pares, teremos [tex3]17 = (b^{\frac{c}2} - 8^{\frac a2})(b^{\frac c2} + 8^{\frac a2}) \implies[/tex3]

\begin{cases} b^{\frac c2}...
FelipeMartin2theblackmamba2: 3 Resp.; 1110 Exibições; Últ. msg por FelipeMartin
31 Jul 2024, 09:23

(Austria) Condição de desigualdade

Últ. msg por Auto Excluído (ID:12031) « 26 Set 2017, 12:17
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 3
por undefinied3 » 16 Mai 2017, 21:28 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

undefinied3

Sejam [tex3]x,y,z,c>0[/tex3] de modo que seja satisfeito:
[tex3]xy+yz+xz+xyz=c[/tex3]
Determine todos os valores de c para os quais também seja válido:
[tex3]x+y+z \geq xy+yz+zx[/tex3]

Últ. msg

Auto Excluído (ID:12031)

[tex3]P(1)=1+m+p+q = 1 + P(-1)+c+1+c+q+q[/tex3]
[tex3]P(1)-P(-1)-2=2(q+c)[/tex3]
[tex3]P(-1)+c+1 \leq \frac{2+P(-1)-P(1)}{2}[/tex3]
[tex3]c \leq \frac{-P(-1)-P(1)}2[/tex3]
acho que dá pra deixar c em função de outros valores e obter desigualdades no polinômio P sim
undefinied32Andre130001Auto Excluído (ID:12031)1: 3 Resp.; 1476 Exibições; Últ. msg por Auto Excluído (ID:12031)
26 Set 2017, 12:17

(Áustria - 01) Função máximo inteiro Últ. msg por Auto Excluído (ID: 23699) « 07 Set 2020, 19:19 Enviado em Olimpíadas por Auto Excluído (ID: 23699) » 07 Set 2020, 19:19 » em Olimpíadas Auto Excluído (ID: 23699) Prove que [tex3]\frac{1}{25}\sum_{k=0}^{2001}\lfloor{\frac{2^k}{25}}\rfloor[/tex3] é um número natural. Auto Excluído (ID: 23699)1: 0 Resp.; 616 Exibições; Últ. msg por Auto Excluído (ID: 23699)
07 Set 2020, 19:19

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