Ensino Médio ⇒ (TST Brasil) Quadriláteros inscritíveis Tópico resolvido

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Sejam [tex3]Q[/tex3] o ponto médio do lado [tex3]AB[/tex3] de um quadrilátero inscritível [tex3]ABCD[/tex3] e [tex3]S[/tex3] a interseção das diagonais [tex3]AC[/tex3] e [tex3]BD.[/tex3] Sejam [tex3]P, R[/tex3] as projeções ortogonais de [tex3]S[/tex3] sobre [tex3]AD, BC,[/tex3] respectivamente. Prove que [tex3]PQ = QR.[/tex3]

[Ittalo25MOD]

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- Quadrilátero ABCD com ângulos a,b e c.
- Traçando a mediana RM, então RM=MS=MB
- Traçando a mediana PN, então PN=NA=NS
- Sendo assim, MN é base média de AB, ou seja MN é paralelo a AB e MN=QA=QB
- BMQ, ANQ e SMN são congruentes pelo caso LAL, QM=SN e QN=SM
- PQN e RMQ são congruentes pelo caso LAL, então QP=QR.

Existe um caso especial que é quando S é o centro da circunferência, porque ABCD será um retângulo e PNQ e RMQ serão colineares.
Mas fica fácil de fazer porque o retângulo é bem simétrico, deixo para você.