IME / ITA ⇒ (Escola Naval 1985) - Derivada e Função Inversa Tópico resolvido

[mvgcsdf]

Se [tex3]F'(x)=cos^{2}(e^{x+1})[/tex3], [tex3]F(0)=3[/tex3], [tex3]G(x)=f(x+1)[/tex3] e [tex3]g^{-1}[/tex3] é a inversa de [tex3]G[/tex3], o valor de [tex3](G^{-1})\,^{1}\,(3)[/tex3] é:
[tex3](A)\, cos^{2}(e)[/tex3]
[tex3](B)\, sec^{2}(e)[/tex3]
[tex3](C)\, tg(e)[/tex3]
[tex3](D)\, e^{3}[/tex3]
[tex3](E)\,1[/tex3]

[jneto]

Boa tarde,

Esta é a questão 23 do vestibular da Naval-85.
Bem, a menos que eu esteja enganado...deve haver um truque bem escondido, porque o problema me parece bem espinhoso...
Vou tentar explicar: chamemos de h a inversa de g, então

[tex3]g(x) = f(x + 1) \to g'(x) = f'(x + 1) = \cos^{2}(e^{x + 2}) \\
(goh)'(x) = g'(h(x))h'(x) = 1 \to h'(x) = \frac{1}{g'(h(x))} \to h'(3) = \frac{1}{g'(h(3))} = \frac{1}{\cos^{2}(e^{h(3) + 2})} \\
\boxed{h'(3) = \frac{1}{\cos^{2}(e^{h(3) + 2})}}[/tex3]

Portanto, nosso problema se resume a calcular [tex3]h(3)[/tex3]

Porém, para isso, precisamos tentar descobrir qual é o x tal que [tex3]g(x) = f(x + 1) = 3[/tex3]; e a menos de outra alternativa, é preciso integrar [tex3]f'(x)[/tex3]

[tex3]\int f'(x) dx = \int \cos^{2}(e^{x + 2}) dx = \int \frac{\cos^{2}(y)}{y} dy[/tex3]

Sabemos que [tex3]cos^{2}(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}[/tex3], levando esse resultado na integral:

[tex3]\int \{\frac{1 + \cos(2y)}{2y}\}dy = \frac{\ell n(y)}{2} + \int \frac{\cos(2y)}{2y}dy + c[/tex3]

Essa última integral só é solúvel expandindo o numerador em série de Taylor em torno do ponto [tex3]y = 0[/tex3]; e a constante de integração é determinada usando a condição inicial [tex3]f(0) = 3[/tex3]. Eu parei nesse ponto porque não vi uma saída simples, não vi porque colocaram um teste desse tipo num exame de vestibular.
Aguardo idéias dos amigos do fórum.


Fiquem com Deus

[jneto]

Boa tarde,

Consegui resolver o problema, a dificuldade foi porque eu enfoquei de modo muito geral. Vou repetir até onde é igual:

Chamemos de h a inversa de g, então

[tex3]g(x) = f(x + 1) \to g'(x) = f'(x + 1) = \cos^{2}(e^{x + 2}) \\
(goh)'(x) = g'(h(x))h'(x) = 1 \to h'(x) = \frac{1}{g'(h(x))} \to h'(3) = \frac{1}{g'(h(3))} = \frac{1}{\cos^{2}(e^{h(3) + 2})} \\
\boxed{h'(3) = \frac{1}{\cos^{2}(e^{h(3) + 2})}}[/tex3]

Portanto, nosso problema se resume a calcular [tex3]h(3)[/tex3]

A seguir, integremos [tex3]f'(x)[/tex3] de 0 até x:

[tex3]f(x) - f(0) = \int_{0}^{x} f'(y) dy = \int_{0}^{x} cos^{2}(e^{y + 1}) dy \\
f(x) = \int_{0}^{x} cos^{2}(e^{y + 1}) dy\,+\,3 \\

g(x) = f(x + 1) = \int_{0}^{x + 1} cos^{2}(e^{y + 1}) dy \,+\, 3[/tex3]

Na penúltima igualdade, usei a condição [tex3]f(0) = 3[/tex3]

Agora, calculemos [tex3]g(h(3))[/tex3]:

[tex3]3 = g(h(3)) = \int_{0}^{h(3) + 1} cos^{2}(e^{y + 1}) dy\,+\, 3 \\

\boxed{\int_{0}^{h(3) + 1} cos^{2}(e^{y + 1}) dy = 0}[/tex3]

Observem que na última igualdade, temos uma integral nula de uma função estritamente positiva, isso só é possível se os extremos de integração são iguais, portanto:

[tex3]\boxed{h(3) = -1}[/tex3]


Levando esse último resultado na fórmula da derivada, temos:

[tex3]h'(3) = \frac{1}{\cos^{2}(e^{h(3) + 2})} \to \boxed{h'(3) = sec^{2}(e)}[/tex3]

Resposta: Altermativa B


Fiquem com Deus