Pré-Vestibular ⇒ Contagem — Urna com número de bolas

[anastacialina]

Oi, gente? Eu acabei de entrar em teoria das probabilidades. O primeiro exercício (de revisão) foi bem fácil. Olha só:

• Enumere o espaço amostral do evento de retirar 3 bolas, sucessivamente e sem reposição, de uma urna contendo 3 bolas pretas e 4 brancas.

A resposta que eu dei foi através da listagem:
Ω = {(P; P; P), (P; P; B), (P; B; P), (B; P; P), (P; B; B), (B; P; B), (B; B; P), (B; B; B)}

Bem, eu consegui fazer isso (listagem) por que estamos falando de valores pequenos. n(Ω) = 8. Mas e se fosse valores grandes? Listagem seria inviável.

Eis o que eu estava pensando, nem sei se isso configura assunto do EM. Mas fiquei com dúvida. Ah... o "exercício" que proponho, eu não vi em lugar algum; foi mais uma espécie de devaneio. Mais uma vez: não sei se é viável uma solução "na mão".

"Temos 2 bolas pretas, 2 bolas brancas e 1 bola vermelha. Iremos agora retirar 3 bolas consecutivamente. E não iremos retornar as bolas para dentro da urna. Se retirarmos uma bola preta da urna, então lá dentro só haverá mais uma bola preta. Afinal só tínhamos duas no início. De quantas formas podemos retirar 3 bolas de dentro da urna?"

Eu mais uma vez recorri a listagem. Não saiu nada analiticamente. LOL. Ah... pode ser que eu tenha perdido algum caso na listagem. Encontrei 18 possibilidades. Claro, levando em conta que a ordem de retirada é relevante. Ou seja, (P, P, B) seria diferente de (B, P, P). Onde P é "preta", B é "branca" e temos o seguinte posicionamento: ("símbolo da primeira bola"; "símbolo da segunda bola"; "símbolo da terceira bola").

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Coisas que percebi, mas não me fizeram chegar em lugar algum: parece uma espécie de arranjo com repetição. Mas eu não posso repetir quantas vezes eu quiser. Existe um fator limitante. Seria o número de bolas de uma determinada cor. No último caso: posso repetir no máximo 2 vezes a bola preta ou 2 vezes a bola branca. E só posso ter uma vez no máximo a bola vermelha.

Eis um outro caso que eu fiz para ver se algo saia analiticamente. E advinha? Não saiu.

"Temos agora 6 bolas: 5 brancas e 1 vermelha. De quantas maneira podemos retirar 5 bolas? A ordem é relevante."

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Parece ser um arranjo de 6 elementos tomados 5 a 5. Onde um dos elementos se repete 5 vezes.

Agora... se tivermos "n" bolas dentro de uma urna e quisermos retirar "p" bolas. Ah... temos "j" cores de bolas. E cada cor se repete um número definido de vezes. Cor "j1" se repete "α" vezes; cor "j2" se repete "β" vezes; cor "j3" se repte "γ" vezes... assim por diante. De quantas formas podemos retirar as "p" bolas da urna? Não é permitido a reposição de bolas.

Se você puder me ajudar, poderia ser com o primeiro "exercício". Aquele de 2 pretas, 2 brancas e 1 vermelha. Claro, mas só se você puder e quiser. That's all folks!